Wyznacz resztę bez dzielenia

[wojtex550]

Pilna sprawa, potrzebuję rozwiązania jak najszybciej

Nie wykonując dzielenia znaleźć resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x) = 2x^{47} -3x ^{5} + 4}\) przez wielomian \(\displaystyle{ P(x) = x ^{4} - 1}\)

korzystam z własności \(\displaystyle{ W(x)=P(x) \cdot Q(x) +R(x)}\) i zeruję P i Q zostawiając samą resztę

Miejsca zerowe które znalazłem dla \(\displaystyle{ P(x)}\) to \(\displaystyle{ (x-1)(x+1)(x-i)(x+i)}\)

dla x=1
\(\displaystyle{ 3=a+b+c+d}\)

dla x=-1
\(\displaystyle{ 5=-a+b-c+d}\)

to myślę że jest w porządku, ale mam problem gdy wstawiam pierwiastek zespolony, wychodzi wtedy:
\(\displaystyle{ i+4=-ai-b+ci+d}\)

przyrównuję wtedy część urojoną do rzeczywistych i otrzymuję dwa nowe równania:
\(\displaystyle{ 1=-a+c
4=-b+d}\)

wydaje mi się że tu robię błąd, bo wychodzi na to, że drugiego pierwiastka zespolonego nie potrzebuję już podstawiać bo mam 2 równania. Ale jeśli nie tak, to w jaki sposób mam to zrobić?

[a4karo]

Tak dla zabawy: podstaw drugi pierwiastek zespolony i zobacz, czy dostaniesz coś nowego

[wojtex550]

Do tego doszedłem, ale prosiłbym jednak o konkretną pomoc

[a4karo]

A jakiej pomocy oczekujesz? Masz układ czterech równań z czterema niewiadomymi.

[wojtex550]

Co z przyrównywaniem części urojonej i rzeczywistej?

[kinia7]

dla x=1
\(\displaystyle{ 3=a+b+c+d}\)

dla x=-1
\(\displaystyle{ 5=-a+b-c+d}\)

to myślę że jest w porządku, ale mam problem gdy wstawiam pierwiastek zespolony, wychodzi wtedy:
\(\displaystyle{ i+4=-ai-b+ci+d}\)

Dla \(\displaystyle{ x=i}\)

\(\displaystyle{ -5i+4=-ai-b+ci+d}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a-c=5 \\ d-b=4\\a+b+c+d=3\\-a+b-c+d=5\end{cases} \ \ \Rightarrow \ \ \begin{cases} a=2 \\ b=0\\c=-3\\d=4 \end{cases}\ \ \Rightarrow \ \ R(x)=2x^3-3x+4}\)