Równanie wielomianowe z pierwiastkiem z parametrem

whitemanxy · Post autor: **whitemanxy** » 17 lis 2016, o 00:14

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{x-1}} + \frac{1}{2m} = \frac{3}{5}}\)
Jak się za do tego dobrać ?

MatPiotr · Post autor: **MatPiotr** » 17 lis 2016, o 00:25

Najpierw założenia ustal. Jakie może być \(\displaystyle{ m,x}\). Następnie możesz sprowadzić do wspólnego mianownika, albo po prostu pomnożyć przez iloczyn wyrażeń w mianownikach. Następnie wszystko na lewą stronę i przyrównujesz do zera, możesz podnieść wcześniej do kwadratu aby nie było pierwiastków.

whitemanxy · Post autor: **whitemanxy** » 17 lis 2016, o 09:19

Czyli jak dobrze rozumiem:

\(\displaystyle{ D: x>1 \wedge m>0}\) ?

A równanie przekształcam w taki sposób:

\(\displaystyle{ \frac{1}{x-1} + \frac{1}{4m^2}= \frac{9}{25}}\)
\(\displaystyle{ 100m^2 + 25(x-1)=36m^2(x-1)}\)

?

kropka+ · Post autor: **kropka+** » 17 lis 2016, o 10:08

Nie.
Po pierwsze założenia dla \(\displaystyle{ m}\) to

\(\displaystyle{ \begin{cases} m \neq 0 \\ \frac{3}{5} - \frac{1}{2m}>0 \end{cases}}\)

i rozwiązaniem tego układu równań nie jest \(\displaystyle{ m>0}\)

Po drugie źle podniosłeś do kwadratu lewą stronę.
Poza tym, przed podniesieniem do kwadratu przenieś \(\displaystyle{ \frac{1}{2m}}\) na prawą stronę, bo inaczej nie pozbędziesz się pierwiastka

whitemanxy · Post autor: **whitemanxy** » 17 lis 2016, o 10:41

Czyli dziedziną będzie: \(\displaystyle{ x-1>0 \wedge m \neq 0 \wedge \frac{3}{5}- \frac{1}{2m} >0}\)
\(\displaystyle{ x>1 \wedge m \neq 0 \wedge m\left( - \infty ,0\right) \cup \left( \frac{5}{6}, \infty \right)}\)

A równanie podnoszę stronami do kwadratu otrzymując:

\(\displaystyle{ \frac{1}{x-1}= \frac{9}{25}- \frac{6}{10m}+ \frac{1}{4m^2}}\)

?

kropka+ · Post autor: **kropka+** » 17 lis 2016, o 11:04

whitemanxy pisze: \(\displaystyle{ m \neq 0 \wedge m\left( - \infty ,0\right) \cup \left( \frac{5}{6}, \infty \right)}\)

Wystarczy napisać \(\displaystyle{ m \in \left( - \infty ,0\right) \cup \left( \frac{5}{6}, \infty \right)}\), bo \(\displaystyle{ 0}\) tu nie należy. Równanie ok.

whitemanxy · Post autor: **whitemanxy** » 17 lis 2016, o 11:14

Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika, wymnożeniu i uproszczeniu doszedłem do następującej postaci:\(\displaystyle{ 100m=(x-1)(36m^2 - 60m + 25)}\)

I co z tym teraz zrobić ?

kropka+ · Post autor: **kropka+** » 17 lis 2016, o 11:19

\(\displaystyle{ x-1=... \Rightarrow x=... +1}\)

Edit:
po lewej powinno być \(\displaystyle{ 100m ^{2}}\) a nie \(\displaystyle{ 100m}\)

Edit 2:
a tak w ogóle to nie potrzeba nic sprowadzać do wspólnego mianownika, tylko zostawić

\(\displaystyle{ \frac{1}{x-1} = \left( \frac{3}{5}- \frac{1}{2m} \right) ^{2} \\ \\
x-1= \frac{1}{\left( \frac{3}{5}- \frac{1}{2m} \right) ^{2}} \\ \\
x= \frac{1}{\left( \frac{3}{5}- \frac{1}{2m} \right) ^{2}} +1}\)

whitemanxy · Post autor: **whitemanxy** » 17 lis 2016, o 11:28

\(\displaystyle{ x= \frac{100m^2}{36m^2-60m+25}+1}\)

\(\displaystyle{ x= \frac{100m^2}{36m^2-60m+25}+ \frac{36m^2-60m+25}{36m^2-60m+25}}\)

\(\displaystyle{ x= \frac{136m^2 -60m + 25}{36m^2-60m+25}}\)

I co z tym dalej zrobić?

kropka+ · Post autor: **kropka+** » 17 lis 2016, o 11:42

Nic, już wyznaczyłeś rozwiązanie. możesz dopisać jeszcze raz "dla \(\displaystyle{ m \in \left( - \infty ,0\right) \cup \left( \frac{5}{6}, \infty \right)}\) "
Ponadto przeczytaj Edit 2. który dopisałam do poprzedniego posta

whitemanxy · Post autor: **whitemanxy** » 17 lis 2016, o 11:44

Już rozumiem. Dziękuję ze pomoc