Równanie wielomianowe z pierwiastkiem

[whitemanxy]

\(\displaystyle{ \sqrt{x+1} +x^2 - 2x -1=0}\)
Jak coś takiego rozwiązać ?

[miodzio1988]

Wszystko poza pierwiastkiem daj na jedną stronę i ustal dziedzinę równania

[squared]

Można i tak:
\(\displaystyle{ \sqrt{x+1} +x^2 - 2x -1=0 \\
\sqrt{x+1}+(x-1)^2-2=0 \\
\sqrt{x+1}=t \rightarrow x+1=t^2 \rightarrow x-1 = t^2-2 \\
t+(t-2)^2-2=0}\)

Oczywiście nie zapominamy o założenia, co do \(\displaystyle{ t}\).

[kinia7]

\(\displaystyle{ \sqrt{x+1}=t \rightarrow x+1=t \rightarrow x-1 = t-1}\)

\(\displaystyle{ x-1=t-1\ \Rightarrow \ x=t}\)

a przecież \(\displaystyle{ x+1=t}\), to jakaś sprzeczność

\(\displaystyle{ x+1 \ge 0\ \wedge\ -x^2+2x+1 \ge 0\ \ \ \ (*)}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{x+1}=-x^2+2x+1\ /^2}\)
\(\displaystyle{ x+1=x^4+4x^2+1-4x^3-2x^2+4x}\)
\(\displaystyle{ x^4-4x^3+2x^2+3x=0}\)
\(\displaystyle{ x(x^3-4x^2+2x+3)=0}\)
\(\displaystyle{ x(x-3)(x^2-x-1)=0\ \Rightarrow \ x=0\ \vee\ x=3\ \vee\ x=\frac{1-\sqrt5}{2}\ \vee\ x=\frac{1+\sqrt5}{2}}\)
z tych czterech warunek \(\displaystyle{ (*)}\) spełniają dwa: \(\displaystyle{ x=0\ \vee\ x=\frac{1+\sqrt5}{2}}\)

[whitemanxy]

Dziękuję

[squared]

Nie trudno się domyślić, że z powodu późnej pory się pomyliłem. Ale dziękuję, za zauważenie. Poprawiłem już całe moje rozwiązanie. Można spojrzeć na nowo .