\(\displaystyle{ x ^{3}-x ^{2}- \frac{1}{4}}\)
Jak bez użycia pochodnych określić ile miejsc zerowych ma ten wielomian i gdzie mniej więcej znajduje się jego jedyne miejsce zerowe? Mniej więcej czyli np. że dla \(\displaystyle{ x>1}\)
wykres wielomianu 3 stopnia
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
wykres wielomianu 3 stopnia
Niech \(\displaystyle{ W(x)=x ^{3}-x ^{2}- \frac{1}{4}}\). Jest to funkcja ciągła (np. bo funkcje wielomianowe są ciągłe).
Zatem z twierdzenia Darboux wynika, że istnieje miejsce zerowe \(\displaystyle{ W}\), gdyż
\(\displaystyle{ \lim_{x \to +\infty}W(x)=+\infty}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty}W(x)=-\infty}\)
Łatwo widać, że gdy \(\displaystyle{ x\le 1}\), to \(\displaystyle{ W(x)<0}\). Ponadto dla \(\displaystyle{ x \ge \frac 5 4}\)
mamy \(\displaystyle{ x^3-x^2-\frac 1 4=x^2(x-1)-\frac 1 4>1\cdot\left( \frac 5 4-1\right)-\frac 1 4=0}\).
Czyli wszystkie pierwiastki \(\displaystyle{ W(x)}\) muszą leżeć w przedziale \(\displaystyle{ \left( 1; \frac 5 4\right)}\).
Żeby pokazać, że jest to dokładnie jeden pierwiastek, wystarczy zauważyć i udowodnić, że w rzeczonym przedziale \(\displaystyle{ W}\) jest funkcją ściśle rosnącą. A to na upartego można zrobić bez pochodnych:
niech \(\displaystyle{ x>y\ge 1}\). Wówczas
\(\displaystyle{ x^3-x^2-\frac 1 4 >y^3-y^2-\frac 1 4 \Leftrightarrow x^3-y^3+y^2-x^2>0 \Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2-x-y)>0}\)
Ostatnia nierówność jest oczywiście prawdziwa, gdyż \(\displaystyle{ x,y>0}\) (toteż \(\displaystyle{ xy>0}\)),
a także \(\displaystyle{ x^2>x}\) i \(\displaystyle{ y^2 \ge y}\) (bo \(\displaystyle{ x>1, y \ge 1}\)). Użyłem wzorów skróconego mnożenia na różnicę sześcianów i różnicę kwadratów, żeby wyciągnąć przed nawias (dodatnie z założenia) \(\displaystyle{ x-y}\).
A jeśli chcesz znaleźć przybliżoną wartość tego pierwiastka, to napisz sobie funkcję w jakimś C czy innym Pythonie, która to policzy (nienawidzę programowania). Możesz poczytać o metodzie siecznych.
Zatem z twierdzenia Darboux wynika, że istnieje miejsce zerowe \(\displaystyle{ W}\), gdyż
\(\displaystyle{ \lim_{x \to +\infty}W(x)=+\infty}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty}W(x)=-\infty}\)
Łatwo widać, że gdy \(\displaystyle{ x\le 1}\), to \(\displaystyle{ W(x)<0}\). Ponadto dla \(\displaystyle{ x \ge \frac 5 4}\)
mamy \(\displaystyle{ x^3-x^2-\frac 1 4=x^2(x-1)-\frac 1 4>1\cdot\left( \frac 5 4-1\right)-\frac 1 4=0}\).
Czyli wszystkie pierwiastki \(\displaystyle{ W(x)}\) muszą leżeć w przedziale \(\displaystyle{ \left( 1; \frac 5 4\right)}\).
Żeby pokazać, że jest to dokładnie jeden pierwiastek, wystarczy zauważyć i udowodnić, że w rzeczonym przedziale \(\displaystyle{ W}\) jest funkcją ściśle rosnącą. A to na upartego można zrobić bez pochodnych:
niech \(\displaystyle{ x>y\ge 1}\). Wówczas
\(\displaystyle{ x^3-x^2-\frac 1 4 >y^3-y^2-\frac 1 4 \Leftrightarrow x^3-y^3+y^2-x^2>0 \Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2-x-y)>0}\)
Ostatnia nierówność jest oczywiście prawdziwa, gdyż \(\displaystyle{ x,y>0}\) (toteż \(\displaystyle{ xy>0}\)),
a także \(\displaystyle{ x^2>x}\) i \(\displaystyle{ y^2 \ge y}\) (bo \(\displaystyle{ x>1, y \ge 1}\)). Użyłem wzorów skróconego mnożenia na różnicę sześcianów i różnicę kwadratów, żeby wyciągnąć przed nawias (dodatnie z założenia) \(\displaystyle{ x-y}\).
A jeśli chcesz znaleźć przybliżoną wartość tego pierwiastka, to napisz sobie funkcję w jakimś C czy innym Pythonie, która to policzy (nienawidzę programowania). Możesz poczytać o metodzie siecznych.