Twierdzenie Sturma a pierwiastki wielomianu

[Borneq]

Chciałem wyznaczyć wszystkie pierwiastki wielomianu. Najpierw ich liczbę: w(koniec duzego przedzialu) - w (początek duzego przedzialu)

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Sturma

Jeśli będzie >0 to wtedy znajdę któryś metodą Brenta czy Dekkera.

Ale jak następny?
Wypadało by odczytać wartość w(znaleziony pierwiastek) ale to nie jest dobra metoda, zwłaszcza gdy pierwiastek jest wielokrotny.
Trzeba by odczytać z miejsc \(\displaystyle{ \pm\varepsilon}\), ale gdy pierwiastek wielokrotny to nawet obliczenie pochodnej nie pomoże
----
Szybkie pytanie:
czy jest prawdą że gdy jest pierwiastek jednokrotny, to tylko funkcja jest zerowa a pochodna nie, gdy podwójny to pierwsza pochodna, gdy potrójny to również druga itd?

[Hendra]

Szybkie pytanie:
czy jest prawdą że gdy jest pierwiastek jednokrotny, to tylko funkcja jest zerowa a pochodna nie, gdy podwójny to pierwsza pochodna, gdy potrójny to również druga itd?

Tak, jest to prawda. Można to dosyć szybko udowodnić, a mianowicie budujemy sobie funkcję, która ma pierwiastek, nazwijmy go \(\displaystyle{ a}\), o krotności k:
\(\displaystyle{ f(x)=(x-a)^{k}}\)
Jak będzie wyglądała pierwsza pochodna?
\(\displaystyle{ f'(x)=k(x-a)^{k-1}}\) no i mamy \(\displaystyle{ k=1}\), bo pierwsza pochodna, czyli otrzymujemy stałą, która jest różna od zera, natomiast dla \(\displaystyle{ k>1}\) pochodna będzie równa 0, bo wykładnik przy \(\displaystyle{ (x-a)}\) będzie większy niż 1.
Sprawa wygląda podobnie z drugą pochodną:
\(\displaystyle{ f''(x)=k(k-1)(x-a)^{k-2}}\) dla \(\displaystyle{ k=2}\) mamy \(\displaystyle{ f''(x)=const \neq 0}\), dka \(\displaystyle{ k>2}\) mamy \(\displaystyle{ f''(x)=0}\).
Dokładnie to samo rozumowanie działa dla pochodnych wyższych rzędów. Jeśli chciałbyś dowód formalny to proponowałbym zasadę indukcji matematycznej.