Reszta z dzielenia wielomianu przez wielomian bez dzielenia

[addme96]

Muszę wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu P(x) przez wielomian Q(x), bez wykonywania dzielenia. Problem w tym, że
Q(x) nie ma miejsc zerowych, a w typowych przykładach ma. Z typowym przykładem sobie poradziłem ale tego nie rozumiem.
\(\displaystyle{ a)\\P(x) = x^{14}-4x^{10}+x^2+\sqrt{2}x
\\
Q(x) = x^2+2}\)
Proszę o poradę.

[andrzej_95]

Spróbuj podzielić wielomian \(\displaystyle{ P(x)}\) na dwie części. Z pierwszej części można wyłączyć przed nawias \(\displaystyle{ x^{10}}\), a następnie w nawiasie zastosować wzór skróconego mnożenia. Od drugiej części natomiast odejmij 2 i dodaj 2, wtedy już dobrze widać ile wynosi ta reszta.

[addme96]

Dzięki wielkie, a ja tyle nad tym myślałem. -- 23 paź 2016, o 16:31 --A takie coś?
\(\displaystyle{ P(x) = x^{30}+3x^{14}+2
\\
Q(x) = x^3+1}\)

Wiem że Q(x) rozłoży się ze wzoru skr. mnożenia i jednym z pierwiastków będzie -1. Wiem też że reszta będzie co najwyżej stopnia 2. I wiem, że wiem za mało

[piasek101]

Zespolone pierwiastki możesz używać ?

[a4karo]

Spróbuj za \(\displaystyle{ x^3}\) wstawić w dzielnej wstawić \(\displaystyle{ -1}\)

[addme96]

Spróbuj za \(\displaystyle{ x^3}\) wstawić w dzielnej wstawić \(\displaystyle{ -1}\)

ale, że mam wyciągnąć \(\displaystyle{ x^3}\) jakoś? np. \(\displaystyle{ x^3(x^{27}+3x^{11})+2}\) ?? Bo dalej nie rozumiem. Jak wstawie -1 za x to i tak wyjdzie 6.

[a4karo]

\(\displaystyle{ x^{30}+3x^4+2=\left(x^3\right)^{10}+3x^2\left(x^3\right)^4+2=(-1)^{10}+3\cdot(-1)^4x^2+2=3x^2+3}\)