Poprawny dowód

ceanseer · Post autor: **ceanseer** » 20 paź 2016, o 18:14

Uzasadnij, że jeżeli a jest liczbą ujemną, to \(\displaystyle{ a+ \frac {1}{a} \le -2}\).

Robię to w ten sposób:

Ukryta treść:

Czy to jest poprawny dowód?

pasman · Post autor: **pasman** » 20 paź 2016, o 18:29

ceanseer pisze: Jeśli \(\displaystyle{ W(1)=4>0}\) to \(\displaystyle{ a \in (- \infty ;0)}\) zawsze spełnia równanie \(\displaystyle{ a+ \frac {1}{a} \le -2}\).

ten wniosek wygląda na błędny.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 20 paź 2016, o 18:32

A czym jest \(\displaystyle{ W}\) ?

No I musisz przekonać czytelnika, że przejścia, które robisz są równoważne

ceanseer · Post autor: **ceanseer** » 20 paź 2016, o 18:46

\(\displaystyle{ W}\) jako przedstawienie wartości funkcji.

\(\displaystyle{ W(a) = a^3+2a^2+a \\
a^3+2a^2+a = 0 \\
a=0 \vee a=-1}\)

Dlaczego wniosek wygląda na błędny?
Które przejścia są niejasne?

a4karo · Post autor: **a4karo** » 20 paź 2016, o 19:23

wszystkie są jasne, ale w dowodzie powinieneś o tym jasno powiedzieć.
Tak naprawdę wolałbym zobaczyć ten dowód przeprowadzony w drugą stronę

Wyjdź od oczywistej nierówności \(\displaystyle{ a(a+1)^2\leq 0}\)
I przekształcaj z do "poczatku"

A.... dlaczego pisze, że ta nierówność jest oczywista?

ceanseer · Post autor: **ceanseer** » 20 paź 2016, o 19:36

a4karo pisze:wszystkie są jasne, ale w dowodzie powinieneś o tym jasno powiedzieć.
Tak naprawdę wolałbym zobaczyć ten dowód przeprowadzony w drugą stronę

Co to znaczy w "drugą stronę"?

a4karo pisze:A.... dlaczego pisze, że ta nierówność jest oczywista?

Nie rozumiem tego zdania.

Post autor: **Jan Kraszewski** » 20 paź 2016, o 19:44

a4karo chodzi o to, że zaczynasz dowód od przekształcania tezy. To jest zawsze niebezpieczne, bo zalatuje dowodem "przez założenie tezy" i jest poprawne TYLKO wtedy, gdy wykonywane przejścia są równoważne. I właśnie dlatego niezbędne jest uzasadnianie równoważności przejść (czego u Ciebie nie ma).

a4karo proponuje, byś wykonał rozumowanie w odwrotnym kierunku tak, by teza pojawiła się na samym końcu jako wniosek. A zdanie, którego nie rozumiesz, to sprawdzenie czy rozumiesz, dlaczego proponowany punkt wyjścia tego dowodu, czyli nierówność \(\displaystyle{ a(a+1)^2\leq 0}\), jest istotnie prawdziwa.

JK

dec1 · Post autor: **dec1** » 20 paź 2016, o 20:38

Lepiej podstawić \(\displaystyle{ b := -a}\), co daje
\(\displaystyle{ -b-\frac 1b\leq -2 \\
b+\frac 1b\geq 2}\)
co jest oczywiste na mocy AM-GM.

ceanseer · Post autor: **ceanseer** » 21 paź 2016, o 17:02

Jak mam uzasadnić tę równoważność? Pod koniec dowiaduję się, że \(\displaystyle{ a}\) należy do przedziału \(\displaystyle{ (- \infty ;0)}\) i wtedy podstawiając liczbę pod \(\displaystyle{ a}\), równanie \(\displaystyle{ a(a+1)^2 = a+ \frac {1}{a} + 2}\) ma sens.

Wtedy iloczyn dwumianów \(\displaystyle{ a+1}\) da wynik dodatni, pomnożone przez wyraz \(\displaystyle{ a}\) przekształci całe wyrażenie na liczbę ujemną.

Nie wiem jak przedstawiać równoważne przejścia...

Spróbuję jeszcze raz :

Zał.: \(\displaystyle{ a \not\in 0}\)

\(\displaystyle{ a+ \frac {1}{a} \le -2 \ \ / \cdot a^2 \\ a^3+2a^2+a \le 0 \\ a(a^2+2a+1) \le 0 \\ a(a+1)^2 \le 0 \\ a=0 \ \wedge \ a=-1}\)

\(\displaystyle{ W(a) = a(a+1)^2 \\ a(a+1)^2= 0 \\ a=0 \vee a=-1}\)

\(\displaystyle{ a \in (- \infty ;0)}\)

Czy chodzi tutaj o udowodnienie \(\displaystyle{ a(a+1)^2 = a+ \frac {1}{a} +2}\) ?

Mruczek · Post autor: **Mruczek** » 21 paź 2016, o 17:28

I teraz żeby pokazać, że nierówność z zadania jest prawdziwa, powinieneś powiedzieć że kolejne kroki od tego na dole do tego na górze wynikają z siebie.
Ty wyszedłeś w tym rozwiązaniu jakby od tezy i doszedłeś do założenia - teraz wystarczy uzasadnić że na odwrót też jest to prawdą.

Post autor: **Jan Kraszewski** » 21 paź 2016, o 17:39

ceanseer pisze:Zał.: \(\displaystyle{ a \not\in 0}\)

No nie, co najwyżej \(\displaystyle{ a<0}\).

ceanseer pisze:\(\displaystyle{ a+ \frac {1}{a} \le -2 \ \ / \cdot a^2}\)

Czemu nie wymnożysz obustronnie przez \(\displaystyle{ a}\)? Znasz znak \(\displaystyle{ a}\), więc wiesz, jak zachowa się nierówność.

ceanseer pisze:\(\displaystyle{ a^3+2a^2+a \le 0 \\ a(a^2+2a+1) \le 0 \\ a(a+1)^2 \le 0}\)

No i tu jest moment, by napisać odpowiedni komentarz.

ceanseer pisze:\(\displaystyle{ a=0 \ \wedge \ a=-1\\
W(a) = a(a+1)^2 \\ a(a+1)^2= 0 \\ a=0 \vee a=-1 \\
a \in (- \infty ;0)}\)

W ostateczności tutaj też możesz napisać komentarz, ale te pięć linijek jest zbędnych, zresztą nie bardzo wiadomo, co znaczą.

ceanseer pisze:Czy chodzi tutaj o udowodnienie \(\displaystyle{ a(a+1)^2 = a+ \frac {1}{a} +2}\) ?

Nie. Rachunki robisz poprawne, ale nie wiesz po co je robisz. Jeżeli przekształcasz tezę równoważnie, to powinieneś dojść do czegoś, co jest prawdą i trzeba napisać czemu jest.

JK

ceanseer · Post autor: **ceanseer** » 22 paź 2016, o 17:05

Mnożyłem przez \(\displaystyle{ a}\) i przez \(\displaystyle{ a^2}\), żeby zobaczyć jak się zachowuje na wykresie.

Dobrze, jeszcze raz. Jeżeli w zadaniu mam, że \(\displaystyle{ a}\) jest liczbą ujemną, to znaczy, że jest każdą liczbą należącą do zbioru \(\displaystyle{ (- \infty ;0)}\), więc:

Zał.: \(\displaystyle{ a<0}\)

\(\displaystyle{ a+ \frac {1}{a} \le -2 / \cdot a \\
a^2 +a+a+1 \ge 0 \\
(a+1)^2 \ge 0}\)

Iloczyn liczb o tym samym znaku daje liczbę dodatnią, więc powyższe obliczenia są prawdą.

Czy teraz jest w porządku?

Post autor: **Jan Kraszewski** » 22 paź 2016, o 17:58

Może być. Teraz jest to typowy dowód na poziomie szkolnym.

JK

PS. Nie tyle "powyższe obliczenia są prawdą", bo to nie prawdziwość obliczeń jest celem, tylko raczej "teza jest równoważna temu, że \(\displaystyle{ (a+1)^2 \ge 0}\), a to jest prawdą dla dowolnego \(\displaystyle{ a}\)".

ceanseer · Post autor: **ceanseer** » 22 paź 2016, o 19:05

Jan Kraszewski pisze:Może być. Teraz jest to typowy dowód na poziomie szkolnym.

JK

PS. Nie tyle "powyższe obliczenia są prawdą", bo to nie prawdziwość obliczeń jest celem, tylko raczej "teza jest równoważna temu, że \(\displaystyle{ (a+1)^2 \ge 0}\), a to jest prawdą dla dowolnego \(\displaystyle{ a}\)".

Brzmi logicznie.

Mruczek pisze:I teraz żeby pokazać, że nierówność z zadania jest prawdziwa, powinieneś powiedzieć że kolejne kroki od tego na dole do tego na górze wynikają z siebie.
Ty wyszedłeś w tym rozwiązaniu jakby od tezy i doszedłeś do założenia - teraz wystarczy uzasadnić że na odwrót też jest to prawdą.

To znaczy, że mam przekształcać od \(\displaystyle{ (a+1)^2 \ge 0}\) do \(\displaystyle{ a + \frac {1}{a} \le -2}\), aby ostatecznie udowodnić tezę?

Post autor: **Jan Kraszewski** » 22 paź 2016, o 19:09

ceanseer pisze:
Mruczek pisze:I teraz żeby pokazać, że nierówność z zadania jest prawdziwa, powinieneś powiedzieć że kolejne kroki od tego na dole do tego na górze wynikają z siebie.
Ty wyszedłeś w tym rozwiązaniu jakby od tezy i doszedłeś do założenia - teraz wystarczy uzasadnić że na odwrót też jest to prawdą.
To znaczy, że mam przekształcać od \(\displaystyle{ (a+1)^2 \ge 0}\) do \(\displaystyle{ a + \frac {1}{a} \le -2}\), aby ostatecznie udowodnić tezę?

Jeżeli przekształcenia są równoważne, to nie musisz (wystarczy zaznaczyć, że przekształcałeś równoważnie). Ale jeżeli tak zrobisz, to nie musisz się martwić, czy są równoważne...

JK