Znajdź pierwiastki

[ramefn]

Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ x ^{4} +x ^{3}-8x-8=0}\)
Metodą grupowania się nie da, wyłączyć przed nawias również, wzory skróconego mnożenia nie ma...

mam rozumieć że pozostaje mi jedynie 'bezu' i pierwiastki wymierne, czy może jednak da się to jakoś prościej rozwiązać?

[Premislav]

Metodą grupowania się nie da

Głosisz nieprawdę.

\(\displaystyle{ x^4+x^3-8x-8=x^3(x+1)-8(x+1)=(x^3-8)(x+1)}\) i dokończ (wskazówka: różnica sześcianów).

[ramefn]

po co różnica sześcianów - nie mogę odczytać, że:
\(\displaystyle{ x ^{3}=8}\)
więc
\(\displaystyle{ x=2}\)
dobrze? xD

a tak w ogóle: (np)

\(\displaystyle{ x ^{2} = \frac{1}{4}}\)
to ile równa się x?
Jak znieść potęge? Po prostu pierwiastek?

[Premislav]

W sumie co do sześcianu to masz rację, już nie myślę - za mało ostatnio śpię.

Jeżeli szukamy rozwiązań rzeczywistych, to
\(\displaystyle{ x^2=a^2 \Leftrightarrow x=a \vee x=-a}\)

Można ten fakt po prostu zauważyć lub pracowicie wyliczyć te rozwiązania, przenosząc wszystko na jedną stronę i korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów.

[MatWojak]

\(\displaystyle{ x ^{2} = \frac{1}{4}}\)
to ile równa się x?
Jak znieść potęge? Po prostu pierwiastek?

Skorzystaj ze wzoru :
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{ \frac{a}{b} } = \frac{ \sqrt[n]{a} }{ \sqrt[n]{b} }}\).

Pamiętaj, że rozwiązaniem może być też liczba przeciwna do otrzymanego przez Ciebie wyniku.

[Mariusz M]

Jak chcesz bardziej ogólną metodą to zapisz wielomian jako
\(\displaystyle{ x ^{4} +x ^{3}-8x-8=\left( x^2+px+q\right)\left( x^2+rx+s\right)}\)
chociaż mniej liczenia będziesz miał gdy najpierw podstawisz \(\displaystyle{ x=y-\frac{1}{4}}\)

Możesz też najpierw sprowadzić ten wielomian do postaci różnicy kwadratów


\(\displaystyle{ x ^{4} +x ^{3}-8x-8=0\\
\left(x ^{4} +x ^{3} \right)-\left( 8x+8\right)=0\\
\left(x ^{4} +x ^{3}+\frac{x^2}{4} \right)-\left(\frac{x^2}{4}+8x+8\right) =0\\
\left( x^2+\frac{1}{2}x\right)^2-\left(\frac{x^2}{4}+8x+8\right) =0\\
\left( x^2+\frac{1}{2}x+\frac{y}{2}\right)^2-\left( \left( y+\frac{1}{4}\right)x^2+\left( \frac{1}{2}y+8\right)x+\frac{y^2}{4}+8 \right)=0\\
\Delta=0\\
\left( y^2+32\right)\left( y+\frac{1}{4}\right)-\left( \frac{1}{2}y+8\right)^2=0\\
y^3+\frac{1}{4}y^2+32y+8-\frac{1}{4}y^2-8y-64=0\\
y^3+24y-56=0\\
y=2\\
8+48-56=0\\
\left( x^2+\frac{1}{2}x+1\right)^2-\left( \frac{9}{4}x^2+9x+9\right)=0\\
\left( x^2+\frac{1}{2}x+1\right)^2-\left( \frac{3}{2}x+3 \right)^2=0\\
\left( x^2-x-2\right)\left( x^2+2x+4\right)=0\\
\left( x-2\right)\left( x+1\right)\left( x^2+2x+4\right)=0\\}\)