Wielomiany: Twierdzenie Bezout oraz krotności pierwiastków

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
I_Have_No_Pomysl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 4 sie 2016, o 12:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Wielomiany: Twierdzenie Bezout oraz krotności pierwiastków

Post autor: I_Have_No_Pomysl »

Witam. Mam 2 zadania, z którymi mam problem.
Zad. 1 Podaj wzór wielomianu, który przy dzieleniu przez dwumian \(\displaystyle{ x-1}\) daje resztę \(\displaystyle{ 2}\), ma pierwiastek trzykrotny równy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), a jego stopień jest równy \(\displaystyle{ 6}\). Czy istnieje tylko jeden taki wielomian?
Zad 2. Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W \left( x \right) =x^{6}-3x^{5}+ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}-5x-1}\). Liczba \(\displaystyle{ -1}\) jest jego dwukrotnym pierwiastkiem, a punkt \(\displaystyle{ A \left( 1,-1 \right)}\) należy do wykresu tego wielomianu.
a)Oblicz współczynniki \(\displaystyle{ a,b,c}\).
b)Udowodnij, że liczba \(\displaystyle{ 2}\) jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu oraz wyznacz jego pozostałe pierwiastki.

Co do zadania nr 1 to zacząłem tak:
\(\displaystyle{ W \left( x \right) =P \left( x \right) \cdot \left( x-1 \right) +2\\W \left( x \right) = \left( 1-\frac{1}{2} \right) ^{3} \cdot \left( ax^{3}+bx^{2}+cx+d \right)}\)
dla pewnych \(\displaystyle{ a, \ b, \ c, \ d}\) oraz pewnego wielomianu \(\displaystyle{ P \left( x \right)}\).
Podstawiając do drugiego z powyższych równania \(\displaystyle{ x=1}\) mamy, że:
\(\displaystyle{ W \left( 1 \right) =2= \left( 1-\frac{1}{2} \right) ^{3} \cdot \left( a+b+c+d \right) \\16=a+b+c+d}\)
i nie wiem co dalej :/

Co do zad. 2
\(\displaystyle{ W \left( 1 \right) =-1=a+b+c-8\\W \left( -1 \right) =0=a-b+c+8}\)
Rozwiązując układ równań mam, że
\(\displaystyle{ b=\frac{15}{2}\\a+c=-\frac{1}{2}}\)
i nie wiem co dalej.

Z góry dziękuję za pomoc
Ostatnio zmieniony 29 wrz 2016, o 18:00 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol mnożenia to \cdot.
Awatar użytkownika
NogaWeza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1481
Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 147 razy
Pomógł: 300 razy

Wielomiany: Twierdzenie Bezout oraz krotności pierwiastków

Post autor: NogaWeza »

Spróbuj wykorzystać fakt, że jeśli \(\displaystyle{ x_0}\) jest \(\displaystyle{ k}\)-krotnym pierwiastkiem wielomianu, to jest \(\displaystyle{ (k-1)}\)-krotnym pierwiastkiem jego pochodnej.
\(\displaystyle{ f(x) = (x -x_0)^k g(x)}\)
\(\displaystyle{ f'(x) = k(x-x_0)^{k-1} g(x) + (x-x_0)^k g'(x) = (x - x_0)^{k-1} \left[ kg(x) + (x-x_0)g'(x)\right]}\)
To się chyba tyczy dowolnej funkcji, a nie tylko wielomianu, w każdym razie Ty operujesz tutaj na zerach dwu/trzy krotnych, więc to twierdzenie może być dla Ciebie użyteczne.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Wielomiany: Twierdzenie Bezout oraz krotności pierwiastków

Post autor: a4karo »

Wsk. 2. jak coś jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu, to jest też pierwiastkiem pochodnej

Wsk. 1: \(\displaystyle{ W(x)=(x-.5)^3P(x)}\). Co oznacza ten warunek z podzielnością?
I_Have_No_Pomysl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 4 sie 2016, o 12:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Wielomiany: Twierdzenie Bezout oraz krotności pierwiastków

Post autor: I_Have_No_Pomysl »

Tylko teoretycznie jeszcze nie mam prawa umieć pochodnych Wiem, że może pójść z pochodnych jakoś szybko, jednak chciałbym to zrobić bez tego narzędzia najpierw.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Wielomiany: Twierdzenie Bezout oraz krotności pierwiastków

Post autor: a4karo »

No to podziel wielomian przez \(\displaystyle{ (x+1)^2}\). Reszta musi być zerowa
I_Have_No_Pomysl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 4 sie 2016, o 12:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Wielomiany: Twierdzenie Bezout oraz krotności pierwiastków

Post autor: I_Have_No_Pomysl »

Dobra, przekonałeś mnie! Robię z pochodnych xD
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Wielomiany: Twierdzenie Bezout oraz krotności pierwiastków

Post autor: a4karo »

Ależ podziel, zachęcam. To będzie bardzo pożyteczne ćwiczenie
Awatar użytkownika
Cytryn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 405
Rejestracja: 17 wrz 2016, o 17:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 46 razy

Wielomiany: Twierdzenie Bezout oraz krotności pierwiastków

Post autor: Cytryn »

Wskazówka: można zastosować dwa razy schemat Hornera, nie trzeba dzielić pisemnie. Rachunki są przyjemne, polecam.
I_Have_No_Pomysl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 4 sie 2016, o 12:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Wielomiany: Twierdzenie Bezout oraz krotności pierwiastków

Post autor: I_Have_No_Pomysl »

Ok, poszło zad. 2. Dziękuję wszystkim, którzy coś poradzili Nad zad 1. pomyślę później bo chwilowo muszę przerwać robienie zadań.

-- 30 wrz 2016, o 17:52 --

Ok, posiedzialem nad zad. 1 i to rezultaty:
\(\displaystyle{ DegW=6 \\ W(1)=2\\W(x)=(x-\frac{1}{2})^{3}*(ax^{3}+bx^{2}+cx+d)}\)
Czyli powymnożeniu ostatniego otrzymałem
\(\displaystyle{ W(x)=ax^{6}+(b-\frac{3}{2}a)x^{5}+(c-\frac{3}{2}b+\frac{3}{4}a)x^4+(d-\frac{3}{2}c+\frac{3}{4}B-\frac{1}{8}a)x^{3}+(\frac{3}{4}c-\frac{3}{2}d-\frac{1}{8}b)x^2+(\frac{3}{4}d-\frac{1}{8}c)x-\frac{1}{8}d}\)
No i po podstawieniu \(\displaystyle{ x=1}\) otrzymałem
\(\displaystyle{ a+b+c+d=8}\)
Czy to jest odpowiedź? Tzn. czy to jest równoważne z założeniami?-- 30 wrz 2016, o 18:08 --PS: Jak edytować wiadomości (chciałbym zmienić znak mnożenia na ten latexowy). Kiedyś miałem opcję edytowania, ale teraz tego nie widzę...
ODPOWIEDZ