obliczyc kwadraty

[17inferno]

Liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a, b, c}\) są pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ x^{3}-2x+1}\). Oblicz, ile jest równe \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}+c^{2}}\).

jak za to zabrać się?

[Premislav]

Ze wzorami Viete'a zapoznać się czas, młody Jedi.

Wskazówka: \(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-\dots}\)

[17inferno]

jest to zadanie maturalne, więc nie jest konieczna znajomość wzorów Viete'a dla równań trzeciego stopnia. jest możliwość w inny sposób rozwiązania tego zadania?

[Premislav]

Np. można wyprowadzić wzory Viete'a dla wielomianu trzeciego stopnia i powiedzieć, że się wpadło na taki lemat.

A tak na poważnie: łatwo widać, że jedną z tych liczb \(\displaystyle{ a,b,c}\) jest \(\displaystyle{ 1}\) (twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych), z Bezouta wydzielasz ten wielomian przez \(\displaystyle{ x-1}\) i potem wystarczą wzory Viete'a dla trójmianu kwadratowego.

-- 16 wrz 2016, o 11:07 --

Ba, można tu jawnie podać wszystkie pierwiastki i je popodnosić do kwadratu, ale ja nie lubię tak robić.

[17inferno]

No dobrze, mam takie rzeczy wyliczone

\(\displaystyle{ x_{0}=1, x_{1}+x_{2}=-1=x_{1} \cdot x_{2}}\)

[Premislav]

To teraz tak:
bez straty ogólności \(\displaystyle{ c=1}\), mamy
\(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2=a^2+b^2+1=(a+b)^2-2ab+1}\) i wystarczy podstawić.

[17inferno]

okay, dzięki za pomoc

[Dilectus]

Można też spróbować tak (bez wzorów Viete'a): Skoro mamy pierwiastki wielomianu trzeciego stopnia, to mozemy napisać

\(\displaystyle{ (x-a)(x-b)(x-c)=0=x^3-2x+1}\)
...
...
...
\(\displaystyle{ x^3-x^2(a+b+c)+x(ab+ac+bc)-abc= 0=x^3-2x+1}\)

z czego wynika, że


\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b+c=0 \\ ab+ac+bc=-2 \\ abc=-1 \end{cases}}\)

Rozwiązujemy tan układ i wyliczamy \(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2}\)

[kinia7]

. . .
z czego wynika, że

\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b+c=0 \\ ab+ac+bc=2 \\ abc=1 \end{cases}}\)

Rozwiązujemy tan układ i wyliczamy \(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2}\)

pierwsze podnoszę do kwadratu:
\(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)=0}\)
podstawiam drugie:
\(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2+2\cdot2=0\ \ \Rightarrow \ \ a^2+b^2+c^2=-4\ \ \rightarrow}\) sprzeczność ???

[Dilectus]

Dziękuję Ci, Kiniu. Oczywiście rąbnąłem się w obliczeniach, już to poprawiłem w moim pierwszym poście.

Układ równań jest taki:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b+c=0 \\ ab+ac+bc=-2 \\ abc=-1 \end{cases}}\)

[anna_]

Dziękuję Ci, Kiniu. Oczywiście rąbnąłem się w obliczeniach, już to poprawiłem w moim pierwszym poście.

Układ równań jest taki:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b+c=0 \\ ab+ac+bc=-2 \\ abc=-1 \end{cases}}\)

Wystarczą dwa pierwsze równania

\(\displaystyle{ a+b+c=0\ /()^2}\)

\(\displaystyle{ (a+b+c)^2=0}\)

\(\displaystyle{ a^2 + 2ab + 2ac + b^2 + 2bc + c^2=0}\)

\(\displaystyle{ a^2 + b^2 + c^2+2(ab+ac+bc)=0}\)

\(\displaystyle{ a^2 + b^2 + c^2+2 \cdot (-2)=0}\)

\(\displaystyle{ a^2 + b^2 + c^2=4}\)

[a4karo]

Można też spróbować tak (bez wzorów Viete'a): Skoro mamy pierwiastki wielomianu trzeciego stopnia, to mozemy napisać

\(\displaystyle{ (x-a)(x-b)(x-c)=0=x^3-2x+1}\)
...
...
...
\(\displaystyle{ x^3-x^2(a+b+c)+x(ab+ac+bc)-abc= 0=x^3-2x+1}\)

z czego wynika, że


\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b+c=0 \\ ab+ac+bc=-2 \\ abc=-1 \end{cases}}\)

Rozwiązujemy tan układ i wyliczamy \(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2}\)

Brawo właśnie udowodniłes wzory Viete'a.

-- 17 wrz 2016, o 18:37 --

Dla żartu zaproponuję takie coś:
skoro
\(\displaystyle{ (x-a)(x-b)(x-c)=x^3-2x+1}\), to
\(\displaystyle{ (x+a)(x+b)(x+c)=-[(-x-a)(-x-b)(-x-c)]=-[(-x)^3-2(-x)+1]=x^3-2x-1}\)
Mnożąc to otrzymamy
\(\displaystyle{ (x^2-a^2)(x^2-b^2)(x^2-c^2)=[x(x^2-2)]^2-1=x^2(x^4-4x^2+4)-1=x^6-4x^4+4x^2-1}\)

stad widać, że \(\displaystyle{ a^2,b^2,c^2}\) sa pierwiastkami równania
\(\displaystyle{ (y-a^2)(y-b^2)(y-c^2)=y^3-4y^2+4y-1}\), zatem ich suma jest równa \(\displaystyle{ 4}\).

[PiotrowskiW]

\(\displaystyle{ x^{3}-2x+1=x^3-x-x+1=x(x^2-1)-(x-1)=x(x+1)(x-1)-(x-1)=(x-1)[x(x+1)-1]=...}\)
nie chce mi się sprawdzać nawet czy się nie pomyliłem w tych nawiasach. Takie coś na maturze podstawowej bywa za 2 pkt. Wg mnie tego oczekują ci co to układają.