pierwiastki wielomianu

[egis]

Witam,
Mógłby ktoś pomóc w rozwiązaniu zadania: Wyznacz wielomian o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkiem jest liczba \(\displaystyle{ \sqrt{2}+\sqrt[3]{3}}\)?
Próbowałam rozwiązać metodą Cardano oraz wyznaczyć x z równania\(\displaystyle{ (\sqrt{2}+\sqrt[3]{3})^{6}=x^{6}}\), jednak nic rozsądnego mi nie wyszło

[kerajs]

1)
\(\displaystyle{ x= \sqrt{2}+ \sqrt[3]{3}}\)
2)
\(\displaystyle{ x^2=2+2 \sqrt{2} \sqrt[3]{3}+ \sqrt[3]{9}}\)


\(\displaystyle{ x^3= (\sqrt{2}+ \sqrt[3]{3})^3\\
x^3=2 \sqrt{2}+6 \sqrt[3]{3} +3 \sqrt{2} \sqrt[3]{9}+3\\
x^3= 2 ( \sqrt{2} + \sqrt[3]{3}) +4 \sqrt[3]{3} +3 \sqrt{2} \sqrt[3]{9}+3\\
x^3= 2 x +4 \sqrt[3]{3} +3 \sqrt{2} \sqrt[3]{9}+3\\
x^3-2x-3= \sqrt[3]{3}\left( 4+3 \sqrt{2} \sqrt[3]{3}\right)\\
x^3-2x-3= \sqrt[3]{3}\left( 4+3 \frac{x^2-2- \sqrt[3]{9}}{2} \right)\\
x^3-2x-3=\sqrt[3]{3}(4+ \frac{3}{2}x^2-3- 3\frac{\sqrt[3]{9}}{2})\\
x^3-2x-3=\sqrt[3]{3}(1+ \frac{3}{2}x^2)- \frac{9}{2}\\
x^3-2x+ \frac{3}{2}=\sqrt[3]{3}(1+ \frac{3}{2}x^2)\\
2x^3-4x+3=\sqrt[3]{3}(2+ 3x^2)\\
(2x^3-4x+3)^3=3(2+ 3x^2)^3}\)

Aczkolwiek pewnie można ładniej, łatwiej i szybciej.