Wielomian w dziedzinie funkcji

[Alpharadious]

Przerabiając granice f. natknąłem się na taki wielomian:
\(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{ x^{5}+x^{4}-x^{3}-4x^{2}+5x-2 }}\)

Wyznaczyć muszę dziedzinę, czyli:
\(\displaystyle{ x^{5}+x^{4}-x^{3}-4x^{2}+5x-2 \ge >0}\)

Ktoś może podpowiedzieć jak ugryźć takiego potworka?

[AloneAngel]

Twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu znasz? Jednym z nich jest \(\displaystyle{ x = 1}\).

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ x^{5}+x^{4}-x^{3}-4x^{2}+5x-2 \ge 0}\)

[Alpharadious]

Twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu znasz?.

Nie znam, ale sobie sprawdziłem. Chodzi o to, że pierwiastka mam szukać pośród wspólnego dzielnika pierwszego i ostatniego współczynnika wyrazów wielomianu? Jeśli tak, to znaczy, że pierwiastkami tego wielomianu może być \(\displaystyle{ 1; -1; 2; -2}\);. Ale jak mam to interpretować?

Każdą domniemaną wartość pierwiastka wstawiam do tej nierówności i sprawdzam czy to prawda?
Już to zrobiłem i nierówność sprawdza się tylko w przypadku, gdy pierwiastkiem jest liczba \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 2}\). To znaczy, że \(\displaystyle{ dF=R \setminus \left\{ 1, 2\right\}}\)?

[AloneAngel]

Skoro wiemy, że ten wielomian ma pierwiastek \(\displaystyle{ x = 1}\) to znaczy, że jest on podzielny przez \(\displaystyle{ (x-1)}\). Musisz go podzielić i zobaczyć co dostaniesz. \(\displaystyle{ 2}\) niestety nie jest pierwiastkiem.

Albo możemy zrobić w ten sposób:
\(\displaystyle{ x^{5}+x^{4}-x^{3}-4x^{2}+5x-2 = x^{4}(x-1)+2x^{3}(x-1)+x^{2}(x-1)-3x(x-1)+2(x-1) = (x-1)(x^4+2x^3+x^2-3x+2)}\)

[Alpharadious]

Sprawdziłem, tylko dla \(\displaystyle{ x=1}\) dzielenie wyszło bez reszty. Co dalej?

[Benny01]

Pokaż, że \(\displaystyle{ x^4+2x^3+x^2-3x+2}\) jest zawsze dodatnie.

[Alpharadious]

Wspólny pierwiastek nie istnieje, czy robię coś źle? Korzystając z twierdzenia mogę to dzielić przez \(\displaystyle{ (x+1); (x-1); (x+2); (x-2).}\) Wszystko wychodzi z resztą.

[AloneAngel]

No tu tak nie zadziała.
Niech \(\displaystyle{ W(x) = x^4+2x^3+x^2-3x+2}\).
Wtedy \(\displaystyle{ W'(x) = 4x^3+6x^2+2x-3}\).
Zauważ, że pochodna się zeruje tylko dla \(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}}\).
Zatem nasz wielomian \(\displaystyle{ W}\) ma minimum lokalne (i globalne przy okazji) w punkcie \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). Ponieważ \(\displaystyle{ W\left(\frac{1}{2} \right) > 0, \ \lim_{x \to \pm \infty} W(x) = + \infty}\) zatem \(\displaystyle{ x^4+2x^3+x^2-3x+2 >0}\).

Stąd nierówność \(\displaystyle{ (x-1)(x^4+2x^3+x^2-3x+2) \ge 0 \Leftrightarrow x-1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1}\)

[Alpharadious]

To znaczy, że: \(\displaystyle{ Df=R \setminus \left\{ 1\right\}}\)

[AloneAngel]

No nie, to znaczy, że możesz brać wszystkie \(\displaystyle{ x \ge 1}\), czyli \(\displaystyle{ D = \RR \setminus (- \infty, 1)}\) lub po prostu \(\displaystyle{ D = [1; + infty)}\)

[Alpharadious]

O tak, przepraszam. Ciężki przykład i zapomniałem o znaku większości .