Wyznacz te wartości parametru m dla których równanie

[damianb543]

Wyznacz te wartości parametru m dla których równanie \(\displaystyle{ (x ^{2}-2x+m-2)(|x-1|-m+1)=0}\) ma dokładnie trzy pierwiastki rzeczywiste? Oblicz te pierwiastki. Proszę o wytłumaczenie krok po kroku zadania, gdyż próbowałem kilka razy i nie mam pojęcia jak tutaj się zabrać.

[Premislav]

Rozważ najpierw oddzielnie pierwiastki pierwszego i drugiego czynnika.
\(\displaystyle{ x^2-2x+m-2=0}\) - to równanie ma \(\displaystyle{ 0,1}\) lub \(\displaystyle{ 2}\) rozwiązania - w zależności od wyznacznika trójmianu (czyli po prostu "delty").
\(\displaystyle{ |x-1|=m-1}\) - to ma zero rozwiązań, gdy \(\displaystyle{ m<1}\) (jako że wartość bezwzględna jest zawsze nieujemna), zaś dla \(\displaystyle{ m \ge 1}\) możesz podnieść stronami do kwadratu, przenieść na jedną stronę i zwinąć do \(\displaystyle{ (x-1-m+1)(x-1+m-1)=0}\), korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów. Oczywiście można też zamiast tego rozpisywać wartość bezwzględną z definicji.
No i aby były dokładnie trzy rozwiązania wyjściowego równania, to albo pierwszy czynnik się będzie zerował w dwóch punktach, a drugi w jednym, albo pierwszy w jednym punkcie, a drugi w dwóch (pozostałe możliwości są w sposób oczywisty wykluczone).

[damianb543]

Jak sprawdzić czy np pierwiastek z pierwszego nie jest równy pierwiastkowi z 2 ?
Może tak być że np 1 ma jeden pierwiastek a drugie wtedy 2 i są równe.

[Premislav]

Fakt, to przeoczyłem. Z pierwszego równania wychodzą pierwiastki \(\displaystyle{ 1+/-\sqrt{3-m}}\) gdy delta jest dodatnia, tj. \(\displaystyle{ m<3}\). Z drugiego wychodzi
\(\displaystyle{ x=m}\) lub \(\displaystyle{ x=2-m}\) dla \(\displaystyle{ m>1}\).
No to możesz rozwiązać równania \(\displaystyle{ 2-m=1-\sqrt{3-m}}\) i tak dalej. Nie potrafię napisać tak "z głowy", co z tego wyjdzie. Musiałem to przeliczyć.

odpowiedź do zadania:    

dla \(\displaystyle{ m<1}\) (ten warunek z \(\displaystyle{ |x-1|=m-1}\)) lub \(\displaystyle{ m>3}\) (a ten z przeliczenia delty) równanie nie ma więcej niż \(\displaystyle{ 2}\) rozwiązań w \(\displaystyle{ \RR}\), więc to odrzucamy.
Gdy \(\displaystyle{ m=1}\), to mamy :
\(\displaystyle{ x^2-2x-1=0 \vee |x-1|=0}\)
- dokładnie trzy rozwiązania. Dla \(\displaystyle{ m=3}\) (przypadek delty równej zero) dostajemy też dokładnie trzy rozwiązania: \(\displaystyle{ 1,3}\) oraz \(\displaystyle{ -1}\). Teraz rozważmy \(\displaystyle{ m \in (1,3)}\).
Wówczas będą po dwa rozwiązania równania kwadratowego i tego z modułem, zatem ogólnie będzie ich za dużo, prócz przypadków, w których
dokładnie jeden pierwiastek się powtarza, tj.
\(\displaystyle{ (m=1- \sqrt{3-m} \wedge 2-m \neq 1+\sqrt{3-m} )\vee}\)... (i tak dalej). To jednak jest niemożliwe, gdyż jeżeli \(\displaystyle{ m=1-\sqrt{3-m}}\), to \(\displaystyle{ 2-m=2-(1-\sqrt{3-m})=1+\sqrt{3-m}}\), zaś gdy \(\displaystyle{ m=1+\sqrt{3-m}}\), to także \(\displaystyle{ 2-m=2-(1+\sqrt{3-m})=1-\sqrt{3-m}}\).
Odpowiedź: \(\displaystyle{ m \in \left\{ 1,3\right\}}\)

[damianb543]

Fakt, to przeoczyłem. Z pierwszego równania wychodzą pierwiastki \(\displaystyle{ 1+/-\sqrt{3-m}}\) gdy delta jest dodatnia, tj. \(\displaystyle{ m<3}\). Z drugiego wychodzi
\(\displaystyle{ x=m}\) lub \(\displaystyle{ x=2-m}\) dla \(\displaystyle{ m>1}\).
No to możesz rozwiązać równania \(\displaystyle{ 2-m=1-\sqrt{3-m}}\) i tak dalej. Nie potrafię napisać tak "z głowy", co z tego wyjdzie. Musiałem to przeliczyć.

odpowiedź do zadania:    

dla \(\displaystyle{ m<1}\) (ten warunek z \(\displaystyle{ |x-1|=m-1}\)) lub \(\displaystyle{ m>3}\) (a ten z przeliczenia delty) równanie nie ma więcej niż \(\displaystyle{ 2}\) rozwiązań w \(\displaystyle{ \RR}\), więc to odrzucamy.
Gdy \(\displaystyle{ m=1}\), to mamy :
\(\displaystyle{ x^2-2x-1=0 \vee |x-1|=0}\)
- dokładnie trzy rozwiązania. Dla \(\displaystyle{ m=3}\) (przypadek delty równej zero) dostajemy też dokładnie trzy rozwiązania: \(\displaystyle{ 1,3}\) oraz \(\displaystyle{ -1}\). Teraz rozważmy \(\displaystyle{ m \in (1,3)}\).
Wówczas będą po dwa rozwiązania równania kwadratowego i tego z modułem, zatem ogólnie będzie ich za dużo, prócz przypadków, w których
dokładnie jeden pierwiastek się powtarza, tj.
\(\displaystyle{ (m=1- \sqrt{3-m} \wedge 2-m \neq 1+\sqrt{3-m} )\vee}\)... (i tak dalej). To jednak jest niemożliwe, gdyż jeżeli \(\displaystyle{ m=1-\sqrt{3-m}}\), to \(\displaystyle{ 2-m=2-(1-\sqrt{3-m})=1+\sqrt{3-m}}\), zaś gdy \(\displaystyle{ m=1+\sqrt{3-m}}\), to także \(\displaystyle{ 2-m=2-(1+\sqrt{3-m})=1-\sqrt{3-m}}\).
Odpowiedź: \(\displaystyle{ m \in \left\{ 1,3\right\}}\)

Jeżeli w poleceniu jest dokładnie trzy pierwiastki to chyba wykluczamy opcje gdy jest podwójny.

[Premislav]

To już chyba pytanie do filozofów albo purystów wielomianowych.
Moim zdaniem odpowiedź to \(\displaystyle{ m=1 \vee m=3}\), ale jeżeli nie pasuje Ci pierwiastek podwójny, to
jeszcze odrzuć \(\displaystyle{ m=3}\). Mnie takie rozróżnienia za bardzo nie interesują. Ja bym stwierdził, że jeden pierwiastek podwójny to nie to samo, co dwa pierwiastki, ale nie będę się w żadnym razie upierać.
Jak dla mnie sformułowanie "pierwiastki równania" wygląda na taki żargon matematyczny, który nie jest ścisły. Pierwiastki może mieć wielomian. I wtedy jak najbardziej można powiedzieć, że wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^2-2x+1}\) ma dwa pierwiastki rzeczywiste (ściślej pierwiastek podwójny \(\displaystyle{ 1}\)), ale w tym kiepskim, potocznym sformułowaniu polecenia chyba jednak chodzi o dokładnie trzy rozwiązania.

[damianb543]

To już chyba pytanie do filozofów albo purystów wielomianowych.
Moim zdaniem odpowiedź to \(\displaystyle{ m=1 \vee m=3}\), ale jeżeli nie pasuje Ci pierwiastek podwójny, to
jeszcze odrzuć \(\displaystyle{ m=3}\). Mnie takie rozróżnienia za bardzo nie interesują. Ja bym stwierdził, że jeden pierwiastek podwójny to nie to samo, co dwa pierwiastki, ale nie będę się w żadnym razie upierać.
Jak dla mnie sformułowanie "pierwiastki równania" wygląda na taki żargon matematyczny, który nie jest ścisły. Pierwiastki może mieć wielomian. I wtedy jak najbardziej można powiedzieć, że wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^2-2x+1}\) ma dwa pierwiastki rzeczywiste (ściślej pierwiastek podwójny \(\displaystyle{ 1}\)), ale w tym kiepskim, potocznym sformułowaniu polecenia chyba jednak chodzi o dokładnie trzy rozwiązania.

dla m=3 są różne
Nie rozumiesz w twojej odpowiedzi do zadania ostatniego przemyślenia gdy oba nawiasy mają 4 rozwiązania to \(\displaystyle{ 1- \sqrt{3-m}=m+2 \wedge 1+ \sqrt{3-m} \neq 2-m}\) itd.

[Premislav]

dla m=3 są różne

Co jest różne? \(\displaystyle{ x^2-2x+m-2=x^2-2x+1}\) gdy \(\displaystyle{ m=3}\), więc trójmian ma pierwiastek podwójny.

Nie rozumiesz w twojej odpowiedzi do zadania ostatniego przemyślenia gdy oba nawiasy mają \(\displaystyle{ 4}\) rozwiązania to \(\displaystyle{ 1- \sqrt{3-m}=m+2 \wedge 1+ \sqrt{3-m} \neq 2-m}\) itd.

To już nie wiem, o co chodzi. Pokazałem, że dla \(\displaystyle{ m \in (1,3)}\) albo są dokładnie cztery rozwiązania, albo dokładnie dwa. Czyli dla \(\displaystyle{ m \in (1,3)}\) na pewno nie będzie dokładnie trzech rozwiązań.

[damianb543]

dla m=3 są różne

Co jest różne? \(\displaystyle{ x^2-2x+m-2=x^2-2x+1}\) gdy \(\displaystyle{ m=3}\), więc trójmian ma pierwiastek podwójny.

Nie rozumiesz w twojej odpowiedzi do zadania ostatniego przemyślenia gdy oba nawiasy mają \(\displaystyle{ 4}\) rozwiązania to \(\displaystyle{ 1- \sqrt{3-m}=m+2 \wedge 1+ \sqrt{3-m} \neq 2-m}\) itd.

To już nie wiem, o co chodzi. Pokazałem, że dla \(\displaystyle{ m \in (1,3)}\) albo są dokładnie cztery rozwiązania, albo dokładnie dwa. Czyli dla \(\displaystyle{ m \in (1,3)}\) na pewno nie będzie dokładnie trzech rozwiązań.

dla m=3 3 rózne nawet mam tak w odpowiedziach i mi też tak wyszło - to jest dobrze
ale twojego ostatniego przemyślenia nie ogarniam

Dobra na przypadki rozwiązałem ostatni punkt, gdyż nie rozumiem twoich rozważań.

[Premislav]

Dla \(\displaystyle{ m=3}\) wyszły mi trzy rozwiązania, bo ja rozumiem pierwiastek podwójny trójmianu jako jedno rozwiązanie równania, więc to akurat by się zgadzało z odpowiedziami. W ogóle ja uważam, że traktowanie w równaniach pierwiastka podwójnego jako dwóch pierwiastków jest głupie i wprowadza tylko zamęt.

Skąd wziąłeś warunek \(\displaystyle{ 1- \sqrt{3-m}=2-m \wedge 1+ \sqrt{3-m} \neq m+1}\)???
U mnie było przecież \(\displaystyle{ 1- \sqrt{3-m}=2-m \wedge 1+ \sqrt{3-m} \neq m}\), bez tej jedynki. Dla \(\displaystyle{ m>1}\) rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ |x-1|=m-1}\) są \(\displaystyle{ m}\) oraz \(\displaystyle{ 2-m}\), zaś wyrażenia \(\displaystyle{ 1-\sqrt{3-m}}\) oraz \(\displaystyle{ 1+\sqrt{3-m}}\) dla \(\displaystyle{ m<3}\) to pierwiastki trójmianu. Ogólne moje rozumowanie dla \(\displaystyle{ m \in (1,3)}\) jest takie:
zauważmy, że dla \(\displaystyle{ m \in (1,3)}\) zarówno równanie \(\displaystyle{ x^2-2x+m-2}\), jak i równanie \(\displaystyle{ |x-1|=m-1}\) mają po dwa rozwiązania. Ponadto rozwiązania tak pierwszego, jak i drugiego równania sumują się do \(\displaystyle{ 2}\). Zatem równanie
\(\displaystyle{ (x^2-2x+m-2)(|x-1|=m-1)=0}\) ma dla m z przedziału \(\displaystyle{ (1,3)}\) albo dwa rozwiązania, albo cztery rozwiązania, bo gdy pierwiastki pierwszego równania to \(\displaystyle{ x_1, x_2}\), a drugiego \(\displaystyle{ y_1}\) i \(\displaystyle{ y_2}\), to gdy \(\displaystyle{ x_1 \neq y_1}\), mamy \(\displaystyle{ x_2=2-x_1 \neq 2-y_1=y_2}\), zaś gdy \(\displaystyle{ x_1=y_1}\), to także \(\displaystyle{ x_2=2-x_1=2-y_1=y_2}\).

[damianb543]

Dla \(\displaystyle{ m=3}\) wyszły mi trzy rozwiązania, bo ja rozumiem pierwiastek podwójny trójmianu jako jedno rozwiązanie równania, więc to akurat by się zgadzało z odpowiedziami. W ogóle ja uważam, że traktowanie w równaniach pierwiastka podwójnego jako dwóch pierwiastków jest głupie i wprowadza tylko zamęt.

Skąd wziąłeś warunek \(\displaystyle{ 1- \sqrt{3-m}=2-m \wedge 1+ \sqrt{3-m} \neq m+1}\)???
U mnie było przecież \(\displaystyle{ 1- \sqrt{3-m}=2-m \wedge 1+ \sqrt{3-m} \neq m}\), bez tej jedynki. Dla \(\displaystyle{ m>1}\) rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ |x-1|=m-1}\) są \(\displaystyle{ m}\) oraz \(\displaystyle{ 2-m}\), zaś wyrażenia \(\displaystyle{ 1-\sqrt{3-m}}\) oraz \(\displaystyle{ 1+\sqrt{3-m}}\) dla \(\displaystyle{ m<3}\) to pierwiastki trójmianu. Ogólne moje rozumowanie dla \(\displaystyle{ m \in (1,3)}\) jest takie:
zauważmy, że dla \(\displaystyle{ m \in (1,3)}\) zarówno równanie \(\displaystyle{ x^2-2x+m-2}\), jak i równanie \(\displaystyle{ |x-1|=m-1}\) mają po dwa rozwiązania. Ponadto rozwiązania tak pierwszego, jak i drugiego równania sumują się do \(\displaystyle{ 2}\). Zatem równanie
\(\displaystyle{ (x^2-2x+m-2)(|x-1|=m-1)=0}\) ma dla m z przedziału \(\displaystyle{ (1,3)}\) albo dwa rozwiązania, albo cztery rozwiązania, bo gdy pierwiastki pierwszego równania to \(\displaystyle{ x_1, x_2}\), a drugiego \(\displaystyle{ y_1}\) i \(\displaystyle{ y_2}\), to gdy \(\displaystyle{ x_1 \neq y_1}\), mamy \(\displaystyle{ x_2=2-x_1 \neq 2-y_1=y_2}\), zaś gdy \(\displaystyle{ x_1=y_1}\), to także \(\displaystyle{ x_2=2-x_1=2-y_1=y_2}\).

Rozwiązałem na przypadki ostatnie rozważanie ale dla m=3 są 3 różne-- 14 sie 2016, o 18:02 --

Dla \(\displaystyle{ m=3}\) wyszły mi trzy rozwiązania, bo ja rozumiem pierwiastek podwójny trójmianu jako jedno rozwiązanie równania, więc to akurat by się zgadzało z odpowiedziami. W ogóle ja uważam, że traktowanie w równaniach pierwiastka podwójnego jako dwóch pierwiastków jest głupie i wprowadza tylko zamęt.

Skąd wziąłeś warunek \(\displaystyle{ 1- \sqrt{3-m}=2-m \wedge 1+ \sqrt{3-m} \neq m+1}\)???
U mnie było przecież \(\displaystyle{ 1- \sqrt{3-m}=2-m \wedge 1+ \sqrt{3-m} \neq m}\), bez tej jedynki. Dla \(\displaystyle{ m>1}\) rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ |x-1|=m-1}\) są \(\displaystyle{ m}\) oraz \(\displaystyle{ 2-m}\), zaś wyrażenia \(\displaystyle{ 1-\sqrt{3-m}}\) oraz \(\displaystyle{ 1+\sqrt{3-m}}\) dla \(\displaystyle{ m<3}\) to pierwiastki trójmianu. Ogólne moje rozumowanie dla \(\displaystyle{ m \in (1,3)}\) jest takie:
zauważmy, że dla \(\displaystyle{ m \in (1,3)}\) zarówno równanie \(\displaystyle{ x^2-2x+m-2}\), jak i równanie \(\displaystyle{ |x-1|=m-1}\) mają po dwa rozwiązania. Ponadto rozwiązania tak pierwszego, jak i drugiego równania sumują się do \(\displaystyle{ 2}\). Zatem równanie
\(\displaystyle{ (x^2-2x+m-2)(|x-1|=m-1)=0}\) ma dla m z przedziału \(\displaystyle{ (1,3)}\) albo dwa rozwiązania, albo cztery rozwiązania, bo gdy pierwiastki pierwszego równania to \(\displaystyle{ x_1, x_2}\), a drugiego \(\displaystyle{ y_1}\) i \(\displaystyle{ y_2}\), to gdy \(\displaystyle{ x_1 \neq y_1}\), mamy \(\displaystyle{ x_2=2-x_1 \neq 2-y_1=y_2}\), zaś gdy \(\displaystyle{ x_1=y_1}\), to także \(\displaystyle{ x_2=2-x_1=2-y_1=y_2}\).

Jak sumują się do 2 ?! Mógłbyś jaśniej ?

[Premislav]

ale dla m=3 są 3 różne

no ale to przecież nie przeczy temu, co napisałem, ja te rozważania prowadziłem dla przedziału otwartego \(\displaystyle{ (1,3)}\). Jak się przyjrzysz, to przypadek \(\displaystyle{ m=3}\) rozważyłem oddzielnie.

Jak sumują się do 2 ?! Mógłbyś jaśniej ?

Jeżeli równanie kwadratowe \(\displaystyle{ ax^2+bx+c=0}\) (oczywiście \(\displaystyle{ a \neq 0}\)) ma dwa rozwiązania \(\displaystyle{ x_1, x_2}\), to ze wzorów Viete'a mamy \(\displaystyle{ x_1+x_2=- \frac{b}{a}}\).
Tutaj mamy \(\displaystyle{ x^2-2x+m-2=0}\), więc \(\displaystyle{ x_1+x_2= \frac{-(-2)}{1} =2}\).

Równanie \(\displaystyle{ |x-a|=b}\) dla \(\displaystyle{ b>0}\) ma dokładnie dwa rozwiązania,
każde z nich jest odległe od liczby \(\displaystyle{ a}\) o \(\displaystyle{ b}\) na osi liczbowej, no to rozwiązania
te (oznaczmy je \(\displaystyle{ x_3, x_4}\)) spełniają \(\displaystyle{ x_3+x_4=a+b+a-b=2a}\), tutaj mamy \(\displaystyle{ b=m-1}\) i \(\displaystyle{ a=1}\), czyli rozwiązania tej równości z modułem dla \(\displaystyle{ m>1}\) to \(\displaystyle{ m}\) oraz \(\displaystyle{ 2-m}\), ich suma to \(\displaystyle{ 2}\).

[damianb543]

ale dla m=3 są 3 różne

no ale to przecież nie przeczy temu, co napisałem, ja te rozważania prowadziłem dla przedziału otwartego \(\displaystyle{ (1,3)}\). Jak się przyjrzysz, to przypadek \(\displaystyle{ m=3}\) rozważyłem oddzielnie.

Jak sumują się do 2 ?! Mógłbyś jaśniej ?

Jeżeli równanie kwadratowe \(\displaystyle{ ax^2+bx+c=0}\) (oczywiście \(\displaystyle{ a \neq 0}\)) ma dwa rozwiązania \(\displaystyle{ x_1, x_2}\), to ze wzorów Viete'a mamy \(\displaystyle{ x_1+x_2=- \frac{b}{a}}\).
Tutaj mamy \(\displaystyle{ x^2-2x+m-2=0}\), więc \(\displaystyle{ x_1+x_2= \frac{-(-2)}{1} =2}\).

Równanie \(\displaystyle{ |x-a|=b}\) dla \(\displaystyle{ b>0}\) ma dokładnie dwa rozwiązania,
każde z nich jest odległe od liczby \(\displaystyle{ a}\) o \(\displaystyle{ b}\) na osi liczbowej, no to rozwiązania
te (oznaczmy je \(\displaystyle{ x_3, x_4}\)) spełniają \(\displaystyle{ x_3+x_4=a+b+a-b=2a}\), tutaj mamy \(\displaystyle{ b=m-1}\) i \(\displaystyle{ a=1}\), czyli rozwiązania tej równości z modułem dla \(\displaystyle{ m>1}\) to \(\displaystyle{ m}\) oraz \(\displaystyle{ 2-m}\), ich suma to \(\displaystyle{ 2}\).

Co w związku z tym ze sie sumują i wychodzi 2?

[Premislav]

Przecież napisałem, co z tego wynika, spójrz na spokojnie i przeczytaj, ja nie będę się powtarzać.