Równanie 3. stopnia z pierwiastkami całkowitymi

[forumowicz2]

Do rozwiązania jest następujące równanie 3. stopnia:
\(\displaystyle{ x^3+5x^2+4x=0}\).

Równanie to można łatwo rozwiązać, zapisując je nastęująco:
\(\displaystyle{ x \left( x+1 \right) \left( x+4 \right) =0}\).
Otrzymuje się rozwiązania: \(\displaystyle{ x= 0\ \vee x= -1\ \vee x=-4}\).

Chcąc rozwiązać to samo równanie, korzystając ze wzoru Cardano oraz pojęcia liczb zespolonych, napotkałem na pewną trudność, która uwidoczni się w toku zaprezentowanych poniżej obliczeń.

Ogólnie równanie 3. stopnia można zapisać w postaci \(\displaystyle{ ax^3+bx^2+cx+d=0}\).
W moim przypadku: \(\displaystyle{ a=1 ; b=5 ; c=4 ; d=0}\).

Równanie to sprowadziłem do postaci kanonicznej, niezawierającej niewiadomej w 2. potędze, stosując podstawienie \(\displaystyle{ y=x- \frac{b}{3a}}\).
W moim przypadku \(\displaystyle{ y=x- \frac{5}{3}}\).
Po podstawieniu i przekształceniach, otrzymałem następujące równanie:
\(\displaystyle{ y^3- \frac{13}{3}y+ \frac{70}{27}=0}\).

Równanie to ogólnie zapisuje się w postaci \(\displaystyle{ y^3+px+q=0}\).
W moim przypadku \(\displaystyle{ p=- \frac{13}{3} ; q= \frac{70}{27}}\).

Następnie obliczyłem wyróżnik dla tego równania, korzystając ze wzoru:
\(\displaystyle{ \Delta = \left( \frac{p}{3} \right) ^3+ \left( \frac{q}{2} \right) ^2}\).
Otrzymałem \(\displaystyle{ \Delta<0}\), czyli zgodnie z wcześniejszym rozwiązaniem równanie posiada trzy różne pierwiastki rzeczywiste.

Korzystając ze wzorów Cardano, można napisać, że jeden z pierwiastków równania \(\displaystyle{ y^3+px+q=0}\) wynosi:
\(\displaystyle{ y= \sqrt[3]{- \frac{q}{2}- \sqrt{ \Delta }}+\sqrt[3]{- \frac{q}{2}+ \sqrt{ \Delta }}}\).

Następnie, m.in. korzystając z własności liczb zespolonych, ów pierwiastek \(\displaystyle{ y}\) zapisałem w postaci trygonometrycznej:
\(\displaystyle{ y=2 \sqrt{- \frac{p}{3}} \cos \left( \frac{\varphi}{3} \right)}\).

W moim przypadku będzie:
\(\displaystyle{ y=2 \sqrt{- \frac{- \frac{13}{3} }{3}} \cos \left( \frac{\varphi}{3} \right) = \frac{2}{3} \sqrt{13} \cos \left( \frac{\varphi}{3} \right)}\).

\(\displaystyle{ \cos \varphi}\) można wyrazić wzorem \(\displaystyle{ \cos \varphi= \frac{- \frac{q}{2} }{ \sqrt{- \frac{p^3}{27} } }}\)

W moim przypadku \(\displaystyle{ \cos \varphi= \frac{- \frac{ \frac{70}{27} }{2} }{ \sqrt{- \frac{ \left( - \frac{13}{3} \right) ^3}{27} } }}\),
co najkrócej można zapisać, iż jest to \(\displaystyle{ \cos \varphi=- \frac{35}{13 \sqrt{13} }}\).

W tym momencie pojawia się trudność, gdyż we wzorze na pierwiastek \(\displaystyle{ y}\) występuje nie \(\displaystyle{ \cos \varphi}\), lecz oczywiście \(\displaystyle{ \cos \left( \frac{\varphi}{3} \right)}\). Z kolei otrzymana wartość \(\displaystyle{ \cos \varphi}\) pokazuje, że kąta \(\displaystyle{ \varphi}\), a tym bardziej kąta \(\displaystyle{ \frac{\varphi }{3}}\) nie można od razu zgadnąć na podstawie wartości cosinusa, a więc należałoby go wówczas obliczyć. Wydaję mi się jednak, że tu pojawi się kolejny problem.

Mianowicie, z racji iż z góry wiadomo, że pierwiastki równania \(\displaystyle{ x^3+5x^2+4x=0}\) są liczbami całkowitymi, a więc liczba \(\displaystyle{ y=x+ \frac{5}{3}}\) też jest liczbą całkowitą, w związku z tym liczba:
\(\displaystyle{ y=2 \sqrt{- \frac{p}{3}} \cos \left( \frac{\varphi}{3} \right) + \frac{5}{3}}\) też musi być liczbą całkowitą.
Wydaje mi się więc, że pomimo otrzymania nieco "dziwnego" wyrażenia na \(\displaystyle{ \cos \varphi}\), ostatecznie obliczenia powinny doprowadzić do uzyskania pierwiastka całkowitego (skoro równanie tylko takowe posiada), z tym, że na razie zastanawiam się jak do tego dojść.
Mianowicie, chcąc otrzymać na końcu dokładną wartość (jeden z pierwiastków całkowitych równania), należałoby w trakcie obliczeń unikać wyznaczania przybliżonych wartości wyrażeń, a uzyskiwać dokładne (o ile to możliwe), nawet gdyby miały się okazać bardzo skomplikowane. Skoro więc otrzymano dokładną wartość \(\displaystyle{ \cos \varphi}\)(w postaci liczby niewymiernej), to również należałoby wyznaczyć dokładną wartość kąta \(\displaystyle{ \varphi}\) oraz kąta \(\displaystyle{ \frac{\varphi }{3}}\) i wówczas wyznaczyć dokładną wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \cos \left( \frac{\varphi}{3} \right)}\).
Wydaje mi się też, iż dobrze by było, gdyby, mając wartość \(\displaystyle{ \cos \varphi}\), móc od razu wyznaczyć wartość \(\displaystyle{ \cos \left( \frac{\varphi}{3} \right)}\). Myślałem o tożsamości trygonometrycznej \(\displaystyle{ \cos \left( 3 \alpha \right) =4 \cos ^3 \alpha -3 \cos \alpha}\),
jednak prowadzi to znowu do równania trzeciego stopnia i także (przynajmniej w tym przypadku) z wyróżnikiem mniejszym od zera.

Ogólnie, w obliczaniu pierwiastka równania 3. stopnia problematyczne jest dla mnie wyznaczenie dokładnej wartości cosinusa jednej trzeciej pewnego kąta, gdy znana jest wartość cosinusa całego tego kąta:
\(\displaystyle{ \cos \varphi=v \\
\cos \left( \frac{\varphi}{3} \right) =?}\)
W związku z tym będę wdzięczny za wyprowadzenie z błędu lub jakąś podpowiedź jak z tego wybrnąć.

[Mariusz M]

Chyba jedynym sensownym rozwiązaniem jest skorzystanie z funkcji cyklometrycznej
(odwrotnej do trygonometrycznej) w celu obliczenia kąta

[forumowicz2]

Skorzystanie z funkcji cyklometrycznej byłoby wygodnym rozwiązaniem. Dla przykładu, w przypadku, gdy \(\displaystyle{ \cos\varphi}\) wynosi \(\displaystyle{ 1}\) czy \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{2}}\), wówczas sprawa wygląda prosto, gdyż od razu wiadomo, z jakimi dokładnie miarami kątów ma się do czynienia. W innym przypadku kąt ten należy obliczyć. To pewnie jednak wiązać się będzie z rozwinięciem funkcji w szereg, a więc uzyskana wartość kąta \(\displaystyle{ \varphi}\) będzie wartością przybliżoną. Wówczas uzyskam również przybliżoną wartość \(\displaystyle{ \cos \frac{\varphi}{3}}\). W związku z tym, zamiast pierwiastka całkowitego danego równania 3. stopnia, uzyskam jedynie jego przybliżenie.
Zastanawiam się też, w jaki sposób pierwiastki te oblicza kalkulator, skoro podaje on dokładne wartości tych pierwiastków (liczby całkowite).