Równanie kwadratowe z parametrem

[the moon]

Dla jakich wartości parametru m równanie

\(\displaystyle{ (m + 1)x^2 - 2x + m - 1 = 0}\)

ma dwa różne pierwiastki należące do przedziału (0; 2)?

[Rogal]

Wpierw obliczamy deltę:

\(\displaystyle{ \Delta = 4 - 4(m+1)(m-1) \\ \Delta = 4(1-m^{2}+1) \\ \Delta = 4(2-m^{2})}\)

Aby to równanie miało dwa pierwiastki, to delta musi być większa od zera. Następnie znając już pierwsze ograniczenie, wyznaczasz pierwiastki i sprawdzasz dla jakich m zawierają się one w w podanym przedziale, uważając na to, by zawierały się również w przedziale wynikającym z delty.

[Skrzypu]

No nie zupełnie tak

masz dwa przypadki

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{cc} m+1<0\\ \Delta>0 \\ f(0)<0 \\ f(2)<0\\ \frac{2}{2(m+1)}>0 \\ \frac{2}{2(m+1)}<2 \end{array}\right.\lor \left\{\begin{array}{cc} m+1>0 \\ \Delta>0 \\ f(0)>0 \\ f(2)>0 \\ \frac{2}{2(m+1)}>0 \\ \frac{2}{2(m+1)}<2 \end{array}\right.}\)

i to chyba powinno wystarczyć

[the moon]

Chłopaki dzięki, ale czy możecie mi jeszcze wytłumaczyć dlaczego należy zastosować takie założenia jak

f(0) < 0
f(2) < 2

i

f(0) > 0
f(2) > 2

i co one oznaczają?

Pozostałe rozumię.

[Tomasz Rużycki]

Narysuj dwa wykresy:
*jeden, gdy parabola ma ramiona skierowane w dół,
*drugi, gdy parabola ma ramiona skierowane w górę.

Niech miejsca zerowe naszej paraboli zawierają się w tym przedziale.

Zwróć uwagę, jaką wartość przyjmuje nasza funkcja, dla wartości skrajnych danego przedziału.

Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

[Skrzypu]

Chłopaki dzięki, ale czy możecie mi jeszcze wytłumaczyć dlaczego należy zastosować takie założenia jak

f(0) < 0
f(2) < 2

i

f(0) > 0
f(2) > 2

i co one oznaczają?

Pozostałe rozumię.

jako \(\displaystyle{ f(x)=(m + 1)x^2 - 2x + m - 1}\)