Ekstrema i ciąg

[mol_ksiazkowy]

Niech \(\displaystyle{ c_1, ..., c_n}\) będą kolejnymi ekstremami funkcji \(\displaystyle{ f(x)= (x-1)(x-2)(x-3)...(x-n)(x- (n+1))}\) gdy \(\displaystyle{ n>1}\).
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a_k = c_k - k}\) dla \(\displaystyle{ k = 1, ..., n}\) to
\(\displaystyle{ a_{k} \leq a_{k+1}}\) dla \(\displaystyle{ k=1, …, n-1}\)

[M Maciejewski]

Doszedłem do przekonującego mnie samego rozumowania, ale są w nim pewne braki. Nie mam czasu na ich uzupełnienie. Może ktoś wpadnie na lepsze rozumowanie.

To, że w każdym przedziale \(\displaystyle{ (k,k+1)}\) jest pierwiastek, to jest jasne, ale trzeba by pokazać, że jest dokładnie jedno. Z tego wyniknie fakt:
Lemat: \(\displaystyle{ c_k\in (k,k+1)}\).

Trochę się męcząc (ale nie tak mocno; korzystając ze wzoru na pochodną iloczynu), można dostać równość:
\(\displaystyle{ (x-n-1)^2f'(x+1)=x(x-n-1)f'(x)-(n+1)f(x)}\).
Zatem, skoro \(\displaystyle{ f'(c_k)=0}\), dostajemy:
\(\displaystyle{ (c_k-n-1)^2f'(c_k+1)=-(n+1)f(c_k)}\).
Stąd wynika, że wartości \(\displaystyle{ f'(c_k+1)}\) oraz \(\displaystyle{ f(c_k)}\) są przeciwnych znaków.

Rozważmy przykład \(\displaystyle{ f(c_k)>0}\) (w \(\displaystyle{ c_k}\) jest maksimum lokalne).

W tym przypadku \(\displaystyle{ f'(c_k+1)<0}\).
Teraz skorzystam z tego, co uznałem za prawdziwe bez dowodu (to, od czego zacząłem).
W przedziale \(\displaystyle{ (k+1,k+2)}\) funkcja zachowuje się następująco:

• Funkcja maleje w przedziale \(\displaystyle{ (k+1,c_{k+1})}\)
• Funkcja rośnie w przedziale \(\displaystyle{ (c_{k+1},k+2)}\)

Zatem \(\displaystyle{ c_{k}+1\in (k+1,c_{k+1})}\), a więc \(\displaystyle{ c_k+1<c_{k+1}}\).
To jest równoważne tezie (z nierównością ostrą).