Cztery wielomiany

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ A(x^5)+ xB(x^5)+ x^2C(x^5)= (1+x+x^2+x^3+x^4)D(x)}\) to \(\displaystyle{ A(1)=0}\)

[kicaj]

Niech \(\displaystyle{ \sqrt[5]{1} =\{ 1 , e_1, e_2 , e_3 , e_4 \}}\) Podstawiając za \(\displaystyle{ x=e_1 , e_2 , e_3}\) otrzymamy układ

\(\displaystyle{ \begin{cases} A(1) + e_1 B(1) + e_1^2 C(1) =0\\A(1) + e_2 B(1) + e_2^2 C(1)=0\\ A(1) + e_3 B(1) + e_3^2 C(1) =0\end{cases}}\)

wyznacznik tego układu jest różny od zera a więc \(\displaystyle{ A(1) =B(1) =C(1) =0.}\)

[Qń]

www.matematyka.pl/361688.htm

Q.