Wielomian 4 stopnia i parametr

[mint18]

Dla jakich \(\displaystyle{ m\in\RR}\) iloczyn pewnych dwóch pierwiastków wielomianu \(\displaystyle{ 2x^4-7x^3+mx^2+22x-8}\) wynosi \(\displaystyle{ 2}\)?

[kerajs]

Przyjmuję że pierwiastki to : \(\displaystyle{ a \ , \ \frac{2}{a}}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2a^4-7a^3+ma^2+22a-8=0 \\ 2(\frac{2}{a})^4-7(\frac{2}{a})^3+m(\frac{2}{a})^2+22(\frac{2}{a})-8=0 \end{cases} \\
\begin{cases} 2a^4-7a^3+ma^2+22a-8=0 \\ 2a^4-11a^3-ma^2+14a-8=0 \end{cases}}\)
Dodając stronami mam:
\(\displaystyle{ 4a^4-18a^3+36a-16=0\\
4(a-4)(a- \frac{1}{2} ) (a- \sqrt{2} )(a+ \sqrt{2} )=0}\)
Wstawisz te pierwiastki do pierwotnego równania i wyliczysz wszystkie ,,m'.

[zr3456]

Dodając stronami mam:
\(\displaystyle{ 4a^4-18a^3+36a-16=0\\
4(a-4)(a- \frac{1}{2} ) (a- \sqrt{2} )(a+ \sqrt{2} )=0}\)
Wstawisz te pierwiastki do pierwotnego równania i wyliczysz wszystkie ,,m'.[/quote]

Jak oblicza się pierwiastki równania 4 stopnia \(\displaystyle{ 4a^4-18a^3+36a-16=0\\}\) ? Maturę zdawałem dość dawno i dlatego pytam.

[Premislav]

Można skorzystać z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych (każdy taki pierwiastek musi być ilorazem pewnego dzielnika \(\displaystyle{ a_{0}}\) - wyrazu wolnego i pewnego dzielnika \(\displaystyle{ a_{n}}\) - współczynnika przy najwyższej potędze - oczywiście jeśli wielomian nie ma pierwiastków wymiernych, to nic to nie daje), przedstawić ten wielomian w postaci różnicy kwadratów, pogrupować lub użyć metody Ferrariego.

Po znalezieniu dwóch pierwiastków wymiernych już łatwo pójdzie, bo po podzieleniu przez
\(\displaystyle{ \left(a-4 \right)\left(a-\frac 1 2 \right)}\) zostaje nam do rozłożenia wielomian stopnia 2.

[zr3456]

Dzięki wielkie, czy to nie jest,o ile pamiętam tw.Bezou ?

[Premislav]

Twierdzenie Bezout (czy też Bezouta) ma swój udział w tym rozwiązaniu (dokładniej przy dzieleniu naszego wielomianu przez \(\displaystyle{ (a-4)\left( a-\frac 1 2\right)}\)), ale to nie ono jest twierdzeniem o pierwiastkach wymiernych. Twierdzenie Bezout orzeka, że
jeśli \(\displaystyle{ W(a)=0}\), to istnieje taki wielomian \(\displaystyle{ P(x)}\), że
mamy \(\displaystyle{ W(x)=(x-a)\cdot P(x)}\) (proste, ale przydatne; zachodzi tez oczywiście wynikanie odwrotne).

[Mariusz M]

Można ogólnie

\(\displaystyle{ 4a^4-18a^3+36a-16=0\\
\left(4a^4-18a^3 \right) -\left( -36a+16\right)=0\\
\left( 4a^4-18a^3+\frac{81}{4}a^2\right)-\left(\frac{81}{4}a^2-36a+16 \right) =0\\
\left( 2a^2-\frac{9}{2}a\right)^2-\left(\frac{81}{4}a^2-36a+16 \right) =0\\
\left(2a^2-\frac{9}{2}a+\frac{y}{2} \right)^2-\left( \left( 2y+\frac{81}{4}\right)a^2-\left(\frac{9}{2}y+36 \right)a+\frac{y^2}{4}+16 \right)=0\\
\Delta=0\\
\left( y^2+64\right)\left(2y+\frac{81}{4} \right)-\left(\frac{9}{2}y+36 \right)^2=0\\
y=0\\
\left( 2a^2-\frac{9}{2}a\right)^2-\left(\frac{9}{2}a-4 \right)^2 =0\\
\left( 2a^2-\frac{9}{2}a-\left(\frac{9}{2}a-4 \right) \right)\left(2a^2-\frac{9}{2}a+\left(\frac{9}{2}a-4 \right) \right)=0\\
\left(2a^2-9a+4 \right)\left( 2a^2-4\right)=0\\
2\left(2a^2-9a+4 \right)\left( a^2-2\right)=0\\
81-32=49\\
a_{1}=\frac{9-7}{4}\\
a_{2}=\frac{9+7}{4}\\
2\left(2a-1\right)\left( a-4\right)\left( a- \sqrt{2} \right)\left( a+ \sqrt{2} \right)=0}\)

[zr3456]

Uf, jestem uspokojny, przez 38 lat nic się nie zmieniło w podstawach matematyki ,od kiedy zdawałem maturę;zerknąłem też do tablic matematycznych, nadal obowiązuje tw.Bezout i o pierwiastkach wymiernych; dlatego zadałem pytanie jak się rozwiązuje równania 4 stopnia , bo byłem zaniepokojony,że w jednej linijce znajduje się te pierwiastki, może coś się zmieniło w matematyce przez te lata ?;Sz.P. mariuszm i Premislaw pokazali, że to jednak nie w jednej linijce;nadal więc mogę mówić wszystkim,że nauka matematyki i fizyki jest dla bardzo leniwych ludzi (co wywołuje osłupienie niektórych);raz się nauczysz podstaw matematyki, fizyki i nic nie robisz;na egzaminach zdajesz zawsze to samo; nie to co zdawanie jakiś WOS,geografii na maturze przez uczniów technikum ( to była patologia,po co ich uczono w technikum informatycznym);nota bene dopiero w 2008r. dowiedziałem się,że matura z matematyki nie była obowiązkowa od 1983r.! Trochę byłem zdziwiony przez te lata,jak różni słabi uczniowie , których znałem,zdawali maturę i później stawali się w dużej liczbie nauczycielami !!!