Dowód na brak rozwiązań

[mint18]

Dany jest wielomian trzeciego stopnia o współczynnikach całkowitych \(\displaystyle{ f(x)}\). Wykazać, że jeżeli liczby \(\displaystyle{ f(0)}\) oraz \(\displaystyle{ f(1)}\) są nieparzyste, to równanie \(\displaystyle{ f(x)=0}\) nie ma pierwiastków całkowitych.

[Zahion]

Nasz wielomian \(\displaystyle{ ax^{3} + bx^{2} +cx + d}\) dla \(\displaystyle{ 0}\) mamy \(\displaystyle{ d}\) a dla \(\displaystyle{ 1}\) mamy \(\displaystyle{ a + b + c + d}\). Wynika stąd, że liczba \(\displaystyle{ a + b + c}\) jest parzysta. Gdyby pierwiastek był liczbą parzystą to \(\displaystyle{ ax^{3} + bx^{2} + cx + d}\) byłoby nieparzyste ( co jest sprzeczne, wtedy nie może być równe zero ), jeżeli pierwiastek byłby liczbą nieparzystą, to \(\displaystyle{ ax^{3} + bx^{2} +cx + d = x\left( ax^{2} + bx + c\right) + d}\) jest nieparzyste ( wystarczy rozpatrzeć wyrażenie w nawiasie. ( dokładniej warto skupić się na parzystości liczby \(\displaystyle{ c}\). )

[a4karo]

Nasz wielomian \(\displaystyle{ ax^{3} + bx^{2} +cx + d}\) dla \(\displaystyle{ 0}\) mamy \(\displaystyle{ d}\) a dla \(\displaystyle{ 1}\) mamy \(\displaystyle{ a + b + c + d}\). Wynika stąd, że liczba \(\displaystyle{ a + b + c}\) jest parzysta. Gdyby pierwiastek był liczbą parzystą to \(\displaystyle{ ax^{3} + bx^{2} + cx + d}\) byłoby nieparzyste ( co jest sprzeczne, wtedy nie może być równe zero ), jeżeli pierwiastek byłby liczbą nieparzystą, to \(\displaystyle{ ax^{3} + bx^{2} +cx + d = x\left( ax^{2} + bx + c\right) + d}\) jest nieparzyste ( wystarczy rozpatrzeć wyrażenie w nawiasie. ( dokładniej warto skupić się na parzystości liczby \(\displaystyle{ c}\). )

Nie ma potrzeby. W takim przypadku \(\displaystyle{ ax^{3} + bx^{2} +cx + d =a+b+c+d \mod 2}\)