Dowód na brak rozwiązań
-
- Użytkownik
- Posty: 279
- Rejestracja: 16 lip 2015, o 11:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lub
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 21 razy
Dowód na brak rozwiązań
Dany jest wielomian trzeciego stopnia o współczynnikach całkowitych \(\displaystyle{ f(x)}\). Wykazać, że jeżeli liczby \(\displaystyle{ f(0)}\) oraz \(\displaystyle{ f(1)}\) są nieparzyste, to równanie \(\displaystyle{ f(x)=0}\) nie ma pierwiastków całkowitych.
-
- Moderator
- Posty: 2095
- Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
- Podziękował: 139 razy
- Pomógł: 504 razy
Dowód na brak rozwiązań
Nasz wielomian \(\displaystyle{ ax^{3} + bx^{2} +cx + d}\) dla \(\displaystyle{ 0}\) mamy \(\displaystyle{ d}\) a dla \(\displaystyle{ 1}\) mamy \(\displaystyle{ a + b + c + d}\). Wynika stąd, że liczba \(\displaystyle{ a + b + c}\) jest parzysta. Gdyby pierwiastek był liczbą parzystą to \(\displaystyle{ ax^{3} + bx^{2} + cx + d}\) byłoby nieparzyste ( co jest sprzeczne, wtedy nie może być równe zero ), jeżeli pierwiastek byłby liczbą nieparzystą, to \(\displaystyle{ ax^{3} + bx^{2} +cx + d = x\left( ax^{2} + bx + c\right) + d}\) jest nieparzyste ( wystarczy rozpatrzeć wyrażenie w nawiasie. ( dokładniej warto skupić się na parzystości liczby \(\displaystyle{ c}\). )
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Dowód na brak rozwiązań
Nie ma potrzeby. W takim przypadku \(\displaystyle{ ax^{3} + bx^{2} +cx + d =a+b+c+d \mod 2}\)Zahion pisze:Nasz wielomian \(\displaystyle{ ax^{3} + bx^{2} +cx + d}\) dla \(\displaystyle{ 0}\) mamy \(\displaystyle{ d}\) a dla \(\displaystyle{ 1}\) mamy \(\displaystyle{ a + b + c + d}\). Wynika stąd, że liczba \(\displaystyle{ a + b + c}\) jest parzysta. Gdyby pierwiastek był liczbą parzystą to \(\displaystyle{ ax^{3} + bx^{2} + cx + d}\) byłoby nieparzyste ( co jest sprzeczne, wtedy nie może być równe zero ), jeżeli pierwiastek byłby liczbą nieparzystą, to \(\displaystyle{ ax^{3} + bx^{2} +cx + d = x\left( ax^{2} + bx + c\right) + d}\) jest nieparzyste ( wystarczy rozpatrzeć wyrażenie w nawiasie. ( dokładniej warto skupić się na parzystości liczby \(\displaystyle{ c}\). )