podaj ogólny wzór wielomianu na podstawie wykresu

there · Post autor: **there** » 17 kwie 2016, o 16:06

Witam
Z wykresu widać, że pierwiastki wielomianu to: \(\displaystyle{ 4, -4, 0}\). Każdy o krotności \(\displaystyle{ 1}\). Dla \(\displaystyle{ x=1}\), \(\displaystyle{ y=-2}\).
Wykres z lewej strony dąży do \(\displaystyle{ - \infty}\) a z prawej do \(\displaystyle{ +\infty}\)
Czy na podstawie tych informacji można wyprowadzić ogólny wzór wielomianu?

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 17 kwie 2016, o 16:58

Tak (jeśli mamy pewność, co do krotności pierwiastków).

a4karo · Post autor: **a4karo** » 17 kwie 2016, o 18:07

No, powiedzmy, że nie do końca.
Najprostszy wielomian, który ma te własność, to \(\displaystyle{ W(x)=cx(x+4)(x-4)}\) (z powodu pierwiastków.). Współczynnik \(\displaystyle{ c}\) określimy z warunku \(\displaystyle{ W(1)=-2}\) wyjdzie \(\displaystyle{ c>0}\), więc jest spełniony warunek z granicami.

A teraz to "nie do końca": jeżeli \(\displaystyle{ Q(x)}\) jest dowolnym wielomianem spełniającym warunki:
\(\displaystyle{ \forall (x\in\RR)\ Q(x)>0}\) i \(\displaystyle{ Q(1)=1}\), to wykres wielomianu \(\displaystyle{ Q(x)\cdot W(x)}\) będzie miał takie same własności jakich żądamy w zadaniu.

karolex123 · Post autor: **karolex123** » 17 kwie 2016, o 20:34

Zastanawiam się, czy nie mógłby być to równie dobrze wielomian stopnia \(\displaystyle{ 5}\) ? Sądzę więcej - czy nie może być to wielomian stopnia \(\displaystyle{ n}\), gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą nieparzystą nie mniejszą od \(\displaystyle{ 3}\) ? Dla jednoznaczności przydałby się określony stopień tego wielomianu.

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 17 kwie 2016, o 20:56

Zgadza się; mógłby być. Dlatego dopisałem w nawiasie, że jeśli tylko jesteśmy pewni co do krotności pierwiastków.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 17 kwie 2016, o 21:00

bartek118 pisze:Zgadza się; mógłby być. Dlatego dopisałem w nawiasie, że jeśli tylko jesteśmy pewni co do krotności pierwiastków.

A przeczytałes moj post powyżej. Wielomian \(\displaystyle{ Q\cdot W}\) ma pierwiastki tej samej krotności co \(\displaystyle{ W}\) (rzeczywiste)

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 17 kwie 2016, o 21:07

a4karo pisze:
bartek118 pisze:Zgadza się; mógłby być. Dlatego dopisałem w nawiasie, że jeśli tylko jesteśmy pewni co do krotności pierwiastków.
A przeczytałes moj post powyżej. Wielomian \(\displaystyle{ Q\cdot W}\) ma pierwiastki tej samej krotności co \(\displaystyle{ W}\) (rzeczywiste)

OK; masz rację. Można zawsze domnożyć wielomian z wyłącznie nierzeczywistymi pierwiastkami.

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 17 kwie 2016, o 23:13

Dla jednoznaczności przydałby się określony stopień tego wielomianu

Nawet podanie stopnia wielomianu nie zagwarantuje jednoznaczności chyba że

\(\displaystyle{ \deg W\left( x\right)=3}\)

Jeżeli \(\displaystyle{ \deg W\left( x\right)>3}\)
to nie dostaniemy jednoznacznej odpowiedzi

Wielomian

\(\displaystyle{ \left( x+p\right)^2+q\\}\)

gdzie \(\displaystyle{ p\in\left( -2,0\right)}\) oraz \(\displaystyle{ q=-p\left( p+2\right)}\)
będzie spełniał warunki przytoczone przez a4karo,
dla wielomianu \(\displaystyle{ Q\left( x\right)}\)