Kiedy wielomian nie ma pierwiastków?

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
kmmc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 107
Rejestracja: 8 sty 2016, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: kraków
Podziękował: 55 razy

Kiedy wielomian nie ma pierwiastków?

Post autor: kmmc »

\(\displaystyle{ x^{4} + mx^{2} + m^{2} - m}\)

dla jakich \(\displaystyle{ m}\) ten wielomian nie ma pierwiastków?

Proszę o podanie warunków.

Ja myślę, że podstawiam \(\displaystyle{ t=x^{2}}\) i \(\displaystyle{ t<0}\) wtedy nie będzie pierwiastków... ale co, jeśli \(\displaystyle{ t>0}\)?
Ostatnio zmieniony 13 kwie 2016, o 21:45 przez Zahion, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie stosuj wzorów matematycznych w nazwie tematu.
Awatar użytkownika
cosinus90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5030
Rejestracja: 18 cze 2010, o 18:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 777 razy

Kiedy wielomian nie ma pierwiastków?

Post autor: cosinus90 »

kmmc pisze:ale co, jeśli \(\displaystyle{ t>0}\)?
Wtedy wyróżnik równania kwadratowego musi być ujemny, aby nie było pierwiastków.
kmmc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 107
Rejestracja: 8 sty 2016, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: kraków
Podziękował: 55 razy

Kiedy wielomian nie ma pierwiastków?

Post autor: kmmc »

Nie umiem zapisać warunku... czyli \(\displaystyle{ \bigtriangleup}\) ma być większa czy mniejsza od zera?
Awatar użytkownika
cosinus90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5030
Rejestracja: 18 cze 2010, o 18:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 777 razy

Kiedy wielomian nie ma pierwiastków?

Post autor: cosinus90 »

Dla porządku, po podstawieniu mamy równanie

\(\displaystyle{ t^2 + mt +m^2 - m = 0}\)

Rozważ dwa przypadki : pierwszy, w którym \(\displaystyle{ \Delta \ge 0}\) i pierwiastki tego równania są liczbami ujemnymi (skorzystaj w założeniach ze wzorów Viete'a) oraz drugi przypadek, w którym \(\displaystyle{ \Delta < 0}\).
Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2662
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 369 razy

Kiedy wielomian z x^4 nie ma pierwiastków?

Post autor: Dilectus »

Postawmy pytanie ogólniejsze:

Mamy wielomian

\(\displaystyle{ ax^4+ bx^3+cx^2+dx +e}\)

Czy można rozstrzygnąć, kiedy on ma pierwiastki bez posługiwania się pochodną?
Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

Kiedy wielomian nie ma pierwiastków?

Post autor: Zahion »

Ja myślę, że podstawiam \(\displaystyle{ t=x^{2}}\) i \(\displaystyle{ t<0}\) wtedy nie będzie pierwiastków
Dla mnie to dziwnie brzmi, to tak jakby napisać, że dla \(\displaystyle{ x^{2} < 0}\) nie ma pierwiastków.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Kiedy wielomian nie ma pierwiastków?

Post autor: a4karo »

Funkcja \(\displaystyle{ x^{4} + mx^{2} + m^{2} - m}\)
jest parzysta, więc jeżeli \(\displaystyle{ x_0}\) jest pierwiastkiem, to również \(\displaystyle{ -x_0}\) jest pierwiastkiem.
Znajdziemy je podstawiając \(\displaystyle{ t=x^2}\) i rozwiązując otrzymane równanie kwadratowe. To równanie może nie mieć rozwiązań, może miec jedno lub dwa (w zalezności od wartości \(\displaystyle{ m}\)).
Ale nie wszystkie z nich odpowiadaja rzeczywistym pierwiastkom oryginalnego równania - te, które są ujemne nie moga byc kwadratami liczb rzeczywistych. Stąd potrzeba dalszej analizy.

@Dilectus, można, ale wzory na rozwiązania równania czwartego stopnia sa na tyle skomplikowane, że praktycznie sie ich nie stosuje
ODPOWIEDZ