\(\displaystyle{ x^{4} + mx^{2} + m^{2} - m}\)
dla jakich \(\displaystyle{ m}\) ten wielomian nie ma pierwiastków?
Proszę o podanie warunków.
Ja myślę, że podstawiam \(\displaystyle{ t=x^{2}}\) i \(\displaystyle{ t<0}\) wtedy nie będzie pierwiastków... ale co, jeśli \(\displaystyle{ t>0}\)?
Kiedy wielomian nie ma pierwiastków?
- cosinus90
- Użytkownik
- Posty: 5030
- Rejestracja: 18 cze 2010, o 18:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 777 razy
Kiedy wielomian nie ma pierwiastków?
Wtedy wyróżnik równania kwadratowego musi być ujemny, aby nie było pierwiastków.kmmc pisze:ale co, jeśli \(\displaystyle{ t>0}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 107
- Rejestracja: 8 sty 2016, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: kraków
- Podziękował: 55 razy
Kiedy wielomian nie ma pierwiastków?
Nie umiem zapisać warunku... czyli \(\displaystyle{ \bigtriangleup}\) ma być większa czy mniejsza od zera?
- cosinus90
- Użytkownik
- Posty: 5030
- Rejestracja: 18 cze 2010, o 18:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 777 razy
Kiedy wielomian nie ma pierwiastków?
Dla porządku, po podstawieniu mamy równanie
\(\displaystyle{ t^2 + mt +m^2 - m = 0}\)
Rozważ dwa przypadki : pierwszy, w którym \(\displaystyle{ \Delta \ge 0}\) i pierwiastki tego równania są liczbami ujemnymi (skorzystaj w założeniach ze wzorów Viete'a) oraz drugi przypadek, w którym \(\displaystyle{ \Delta < 0}\).
\(\displaystyle{ t^2 + mt +m^2 - m = 0}\)
Rozważ dwa przypadki : pierwszy, w którym \(\displaystyle{ \Delta \ge 0}\) i pierwiastki tego równania są liczbami ujemnymi (skorzystaj w założeniach ze wzorów Viete'a) oraz drugi przypadek, w którym \(\displaystyle{ \Delta < 0}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Kiedy wielomian z x^4 nie ma pierwiastków?
Postawmy pytanie ogólniejsze:
Mamy wielomian
\(\displaystyle{ ax^4+ bx^3+cx^2+dx +e}\)
Czy można rozstrzygnąć, kiedy on ma pierwiastki bez posługiwania się pochodną?
Mamy wielomian
\(\displaystyle{ ax^4+ bx^3+cx^2+dx +e}\)
Czy można rozstrzygnąć, kiedy on ma pierwiastki bez posługiwania się pochodną?
-
- Moderator
- Posty: 2095
- Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
- Podziękował: 139 razy
- Pomógł: 504 razy
Kiedy wielomian nie ma pierwiastków?
Dla mnie to dziwnie brzmi, to tak jakby napisać, że dla \(\displaystyle{ x^{2} < 0}\) nie ma pierwiastków.Ja myślę, że podstawiam \(\displaystyle{ t=x^{2}}\) i \(\displaystyle{ t<0}\) wtedy nie będzie pierwiastków
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Kiedy wielomian nie ma pierwiastków?
Funkcja \(\displaystyle{ x^{4} + mx^{2} + m^{2} - m}\)
jest parzysta, więc jeżeli \(\displaystyle{ x_0}\) jest pierwiastkiem, to również \(\displaystyle{ -x_0}\) jest pierwiastkiem.
Znajdziemy je podstawiając \(\displaystyle{ t=x^2}\) i rozwiązując otrzymane równanie kwadratowe. To równanie może nie mieć rozwiązań, może miec jedno lub dwa (w zalezności od wartości \(\displaystyle{ m}\)).
Ale nie wszystkie z nich odpowiadaja rzeczywistym pierwiastkom oryginalnego równania - te, które są ujemne nie moga byc kwadratami liczb rzeczywistych. Stąd potrzeba dalszej analizy.
@Dilectus, można, ale wzory na rozwiązania równania czwartego stopnia sa na tyle skomplikowane, że praktycznie sie ich nie stosuje
jest parzysta, więc jeżeli \(\displaystyle{ x_0}\) jest pierwiastkiem, to również \(\displaystyle{ -x_0}\) jest pierwiastkiem.
Znajdziemy je podstawiając \(\displaystyle{ t=x^2}\) i rozwiązując otrzymane równanie kwadratowe. To równanie może nie mieć rozwiązań, może miec jedno lub dwa (w zalezności od wartości \(\displaystyle{ m}\)).
Ale nie wszystkie z nich odpowiadaja rzeczywistym pierwiastkom oryginalnego równania - te, które są ujemne nie moga byc kwadratami liczb rzeczywistych. Stąd potrzeba dalszej analizy.
@Dilectus, można, ale wzory na rozwiązania równania czwartego stopnia sa na tyle skomplikowane, że praktycznie sie ich nie stosuje