Dokończenie zadania z wielomianami

[kmmc]

Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x)=2x^{4}-3x^{3}+nx^{2}+mx+k}\), który jest podzielny przez \(\displaystyle{ G(x)=(x-1)^{3}}\), wyznacz \(\displaystyle{ n,m,k}\).

Wielomian \(\displaystyle{ G(x)}\) jest trzeciego stopnia czyli pozostało nam znaleźć wielomian stopnia pierwszego - jest to: \(\displaystyle{ 2x+3}\) - wynik poprawny, w odpowiedziach sprawdziłem.

Podzieliłem \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ G(x)}\) i reszta mi taka wyszła: \(\displaystyle{ (n+3)x^{2}+(m-7)x+k+3}\).

Wiem, że trzeba teraz każdy fragment przed iksem przyrównać do zera, i wtedy wyjdzie, ale co innego mnie gnębi...

Jak to zapisać, by na maturze zdobyć maks. punktów za to zadanie... ? zeby było tak formalnie...

[kropka+]

Jeśli wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ G(x)}\) to reszta z dzielenia wynosi \(\displaystyle{ 0}\).

\(\displaystyle{ \forall x \in R \ (n+3)x^{2}+(m-7)x+k+3=0 \Leftrightarrow \begin{cases} n+3=0 \\ m-7=0 \\ k+3=0 \end{cases}}\)

[Zahion]

Wielomian \(\displaystyle{ W}\) ma potrójny pierwiastek równy \(\displaystyle{ 1}\), stąd \(\displaystyle{ W''\left( x\right) = 0}\), oraz \(\displaystyle{ W'\left( x\right) = 0}\). Ten sposób wydaje się szybszy ( dla mnie = D ). Z pierwszej równości mamy \(\displaystyle{ n = -3}\) i teraz druga ...

[kmmc]

Jeśli wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ G(x)}\) to reszta z dzielenia wynosi \(\displaystyle{ 0}\).

\(\displaystyle{ \forall x \in R \ (n+3)x^{2}+(m-7)x+k+3=0 \Leftrightarrow \begin{cases} n+3=0 \\ m-7=0 \\ k+3=0 \end{cases}}\)

Heh, skąd się wzięły te 3 równania w klamrze? Przecież całość (tj. suma \(\displaystyle{ (n+3)x^{2}+(m-7)x+k+3}\) równa się \(\displaystyle{ 0}\))... nie poszczególne równania.

[kropka+]

Stąd, że to ma zachodzić dla wszystkich iksów, więc trzeba wyzerować wszystkie współczynniki przy iksach i wyraz wolny.