Hej! Mam takie zadanie:
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja \(\displaystyle{ f(x) = -x^{3} + mx^{2} + mx + m}\) jest malejąca w zbiorze liczb rzeczywistych.
Zadanie jest z próbnej matury rozszerzonej, tylko za 3 punkty, a ja nie mam pojęcia jak go zrobić.
Spróbowałem skorzystać z definicji funkcji malejącej.
\(\displaystyle{ x_{1} < x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) > f(x_{2})}\)
A inaczej zapisując:
\(\displaystyle{ f(x_{1}) - f(x_{2}) > 0
-x_{1}^{3} + mx_{1}^{2} + mx_{1} + m + x_{2}^{3} - mx_{2}^{2} - mx_{2} - m > 0
-x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + mx_{1}^{2} - mx_{2}^{2} + mx_{1} - mx_{2} > 0
x_{2}^{3} - x_{1}^{3} + m(x_{1}^{2} - x_{2}^{2}) + m(x_{1} - x_{2}) > 0
(x_{2} - x_{1})(x_{2}^{2} + x_{2}x_{1} + x_{1}^{2}) + m(x_{1} - x_{2})(x_{1} + x_{2}) + m(x_{1} - x_{2}) > 0}\)
I na tym etapie się zatrzymuję. Umiem skorzystać z założenia przy niektórych nawiasach, ale to wciąż jest suma, a nie iloczyn. Nie mam pojęcia, jak doprowadzić to wszystko do jednego dużego iloczynu. Być może zaczynam od złej strony, albo w ogóle to zadanie powinno się robić innym sposobem.
Byłbym wdzięczny za każdą pomoc i wskazówkę!
Wyznacz wartości parametru m, żeby funkcja była malejąca.
Wyznacz wartości parametru m, żeby funkcja była malejąca.
Bardzo dziękuję!
Czyli obliczam pochodną funkcji:
\(\displaystyle{ f'(x) = -3x^{2} + 2mx + m}\)
Żeby funkcja była malejąca, pochodna musi być mniejsza od zera:
\(\displaystyle{ -3x^{2} + 2mx + m < 0}\)
\(\displaystyle{ delta = 4m^{2} + 12m}\)
Żeby ta nierówność była mniejsza od zera, parabola (skierowana ramionami do dołu) musi być poniżej osi OX. Czyli nie może mieć rozwiązań.
Czyli:
\(\displaystyle{ 4m^{2} + 12m < 0}\)
\(\displaystyle{ 4m(m+3)<0}\)
\(\displaystyle{ m \in \left( -3;0\right)}\)
Zatem dlaczego w odpowiedziach wynik jest w ostrych nawiasach? Co więcej, -3 oraz 0 pasują, bo funkcja również jest wtedy malejąca?
Ostatnia wskazówka?
Czyli obliczam pochodną funkcji:
\(\displaystyle{ f'(x) = -3x^{2} + 2mx + m}\)
Żeby funkcja była malejąca, pochodna musi być mniejsza od zera:
\(\displaystyle{ -3x^{2} + 2mx + m < 0}\)
\(\displaystyle{ delta = 4m^{2} + 12m}\)
Żeby ta nierówność była mniejsza od zera, parabola (skierowana ramionami do dołu) musi być poniżej osi OX. Czyli nie może mieć rozwiązań.
Czyli:
\(\displaystyle{ 4m^{2} + 12m < 0}\)
\(\displaystyle{ 4m(m+3)<0}\)
\(\displaystyle{ m \in \left( -3;0\right)}\)
Zatem dlaczego w odpowiedziach wynik jest w ostrych nawiasach? Co więcej, -3 oraz 0 pasują, bo funkcja również jest wtedy malejąca?
Ostatnia wskazówka?
-
- Użytkownik
- Posty: 41
- Rejestracja: 10 kwie 2016, o 12:23
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 6 razy
Wyznacz wartości parametru m, żeby funkcja była malejąca.
Kiedy pochodna funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) jest niedodatnia to funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) jest malejąca i na odwrót. \(\displaystyle{ 0}\) nie ma żadnego znaku nie jest ani dodatnie ani ujemne. Dlatego domykasz przedziały. Bo w rzeczywistości rozwiązujesz \(\displaystyle{ f'(x) \le 0}\)mansuz pisze:Bardzo dziękuję!
Czyli obliczam pochodną funkcji:
\(\displaystyle{ f'(x) = -3x^{2} + 2mx + m}\)
Żeby funkcja była malejąca, pochodna musi być mniejsza od zera:
\(\displaystyle{ -3x^{2} + 2mx + m < 0}\)
\(\displaystyle{ delta = 4m^{2} + 12m}\)
Żeby ta nierówność była mniejsza od zera, parabola (skierowana ramionami do dołu) musi być poniżej osi OX. Czyli nie może mieć rozwiązań.
Czyli:
\(\displaystyle{ 4m^{2} + 12m < 0}\)
\(\displaystyle{ 4m(m+3)<0}\)
\(\displaystyle{ m \in \left( -3;0\right)}\)
Zatem dlaczego w odpowiedziach wynik jest w ostrych nawiasach? Co więcej, -3 oraz 0 pasują, bo funkcja również jest wtedy malejąca?
Ostatnia wskazówka?