Wyznacz wartości parametru m, żeby funkcja była malejąca.

[mansuz]

Hej! Mam takie zadanie:
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja \(\displaystyle{ f(x) = -x^{3} + mx^{2} + mx + m}\) jest malejąca w zbiorze liczb rzeczywistych.

Zadanie jest z próbnej matury rozszerzonej, tylko za 3 punkty, a ja nie mam pojęcia jak go zrobić.

Spróbowałem skorzystać z definicji funkcji malejącej.

\(\displaystyle{ x_{1} < x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) > f(x_{2})}\)
A inaczej zapisując:
\(\displaystyle{ f(x_{1}) - f(x_{2}) > 0

-x_{1}^{3} + mx_{1}^{2} + mx_{1} + m + x_{2}^{3} - mx_{2}^{2} - mx_{2} - m > 0

-x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + mx_{1}^{2} - mx_{2}^{2} + mx_{1} - mx_{2} > 0

x_{2}^{3} - x_{1}^{3} + m(x_{1}^{2} - x_{2}^{2}) + m(x_{1} - x_{2}) > 0

(x_{2} - x_{1})(x_{2}^{2} + x_{2}x_{1} + x_{1}^{2}) + m(x_{1} - x_{2})(x_{1} + x_{2}) + m(x_{1} - x_{2}) > 0}\)

I na tym etapie się zatrzymuję. Umiem skorzystać z założenia przy niektórych nawiasach, ale to wciąż jest suma, a nie iloczyn. Nie mam pojęcia, jak doprowadzić to wszystko do jednego dużego iloczynu. Być może zaczynam od złej strony, albo w ogóle to zadanie powinno się robić innym sposobem.
Byłbym wdzięczny za każdą pomoc i wskazówkę!

[NogaWeza]

Proponuję skorzystać z pochodnej funkcji.

[mansuz]

Bardzo dziękuję!

Czyli obliczam pochodną funkcji:

\(\displaystyle{ f'(x) = -3x^{2} + 2mx + m}\)

Żeby funkcja była malejąca, pochodna musi być mniejsza od zera:

\(\displaystyle{ -3x^{2} + 2mx + m < 0}\)
\(\displaystyle{ delta = 4m^{2} + 12m}\)

Żeby ta nierówność była mniejsza od zera, parabola (skierowana ramionami do dołu) musi być poniżej osi OX. Czyli nie może mieć rozwiązań.

Czyli:
\(\displaystyle{ 4m^{2} + 12m < 0}\)
\(\displaystyle{ 4m(m+3)<0}\)
\(\displaystyle{ m \in \left( -3;0\right)}\)

Zatem dlaczego w odpowiedziach wynik jest w ostrych nawiasach? Co więcej, -3 oraz 0 pasują, bo funkcja również jest wtedy malejąca?
Ostatnia wskazówka?

[Jarosz23]

Bardzo dziękuję!

Czyli obliczam pochodną funkcji:

\(\displaystyle{ f'(x) = -3x^{2} + 2mx + m}\)

Żeby funkcja była malejąca, pochodna musi być mniejsza od zera:

\(\displaystyle{ -3x^{2} + 2mx + m < 0}\)
\(\displaystyle{ delta = 4m^{2} + 12m}\)

Żeby ta nierówność była mniejsza od zera, parabola (skierowana ramionami do dołu) musi być poniżej osi OX. Czyli nie może mieć rozwiązań.

Czyli:
\(\displaystyle{ 4m^{2} + 12m < 0}\)
\(\displaystyle{ 4m(m+3)<0}\)
\(\displaystyle{ m \in \left( -3;0\right)}\)

Zatem dlaczego w odpowiedziach wynik jest w ostrych nawiasach? Co więcej, -3 oraz 0 pasują, bo funkcja również jest wtedy malejąca?
Ostatnia wskazówka?

Kiedy pochodna funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) jest niedodatnia to funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) jest malejąca i na odwrót. \(\displaystyle{ 0}\) nie ma żadnego znaku nie jest ani dodatnie ani ujemne. Dlatego domykasz przedziały. Bo w rzeczywistości rozwiązujesz \(\displaystyle{ f'(x) \le 0}\)