wielomian podzielny

[anitka93]

Wielomian \(\displaystyle{ x^{4}+16}\) jest podzielny przez
A \(\displaystyle{ x^{2}+4}\)
B \(\displaystyle{ x+2}\)
C \(\displaystyle{ x^{2}-2\sqrt{2}x-4}\)
D \(\displaystyle{ x^{2}+2\sqrt{2}x+4}\)
Nie wiem jak się za to zabrać... czy ktoś mi wytłumaczy?

[kerajs]

\(\displaystyle{ x^4+16=x^4+8x^2+16-8x^2=(x^2+4^2)-( 2\sqrt{2}x )^2=\\=(x^2+2\sqrt{2}x+4)(x^2-2\sqrt{2}x+4)}\)

[a4karo]

Tu się akurat udało rozłożyć. generalnie można by podzielić jeden wielomian przez drugi i zobaczyć, czy wychodzi zerowa reszta.

[kropka+]

Albo wygooglować wzory skróconego mnożenia To jest tożsamość Sophie Germain

\(\displaystyle{ a ^{4}+4b ^{4}=\left( a ^{2}+2ab+2b ^{2}\right)\left( a ^{2}-2ab+2b ^{2}\right)}\)

[anitka93]

Nie rozumiem dlaczego

\(\displaystyle{ (x^2+2\sqrt{2}x+4)(x^2-2\sqrt{2}x+4)}\)

? Dlaczego jest tam \(\displaystyle{ 2 \sqrt{2}}\) Czy da się to jakoś logicznie wytłumaczyć?

[kerajs]

Dążyłem do zastosowania wzoru:
\(\displaystyle{ a^2-b^2=(a-b)(a+b)}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ x^4+16=(x^2)^2+4^2=\left[ (x^2)^2+2 \cdot x^2 \cdot 4+4^2\right] -2 \cdot x^2 \cdot 4=\\=\left[ x^4+8x^2+16\right] -8x^2=(x^2+4)^2-( 2\sqrt{2}x )^2=\\=\left[ (x^2+4)-2\sqrt{2}x\right] \left[(x^2+4)+2\sqrt{2}x \right] =(x^2-2\sqrt{2}x+4)(x^2+2\sqrt{2}x+4)}\)

[anitka93]

Wszystko jasne dziękuję za pomoc