Uzasadnij istnienie rozwiązania równania

[mark939]

\(\displaystyle{ x^{3} +3x+2=0}\)

Na początek policzyłem pochodną która wynosi:
\(\displaystyle{ 3x ^{2} +3}\)
Nie ma ona miejsc zerowych, a>0 więc funkcja jest rosnąca w całym przedziale.
Niestety nie wiem co dalej.

edit wpadłem na pomysł, (twierdzenie Darboux) że wystarczy znaleść 2 wartosci o różnych znakach:
\(\displaystyle{ f(-1)=-2}\)\(\displaystyle{ f(1)=6}\)
i skora funkcja jest rosnąca to na pewno będzie miała miejsce zerowe w przedziale od \(\displaystyle{ (-1;1)}\)
Czy to rozwiązanie jest poprawne ?

[GluEEE]

Własność Darboux.

[Kacperdev]

i skora funkcja jest rosnąca to na pewno będzie miała miejsce zerowe w przedziale od \(\displaystyle{ (-1;1)}\)
Czy to rozwiązanie jest poprawne ?

Rosnąca i ciągła.

[mark939]

Ale skąd wiem że jest ciągła muszę policzyć granice a jeśli tak to w jakich punktach?
Może w \(\displaystyle{ +}\) i \(\displaystyle{ -}\)\(\displaystyle{ \infty}\)?

[Kacperdev]

Zależy jak szczegółowo musi przebiegać twoje rozwiązanie. Wydaje mi sie, że wystarczy stwierdzenie, że każdy wielomian jako funkcja elementarna jest ciągła.

[mark939]

A gdyby to nie wystarczyło ?

[Kacperdev]

No to udowodnij z definicji np. ciągłość \(\displaystyle{ f(x)=x}\) oraz, że iloczyn oraz suma funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą (prosta konsekwencja def. Heinego).

[Dilectus]

Wystarczy, że pokażesz, że funkcja jest rosnąca i ciągła w całej dziedzinie, i że

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} f(x)= \infty}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to-\infty} f(x)=- \infty}\)

[karolex123]

Zastanawiam się czy nie można podejść do zagadnienia nieco elementarniej. Mianowicie, wyrażenie po lewej stronie równania jest oczywiście wielomianem stopnia 3. Na mocy twierdzenia o rozkładzie wielomianu, dany wielomian można zapisać w postaci iloczynu trzech dwumianów liniowych, bądź jednego dwumianu liniowego i jednego trójmianu kwadratowego. Ponadto z twierdzenia Bezouta wynika, że ten wielomian ma w takim razie co najmniej jeden pierwiastek, co kończy dowód.

[Mariusz M]

Aby to wykazać trzeba skorzystać z zespolonych, i pokazać że dla wielomianu o rzeczywistych współczynnikach zespolone pierwiastki są parami sprzężone

Z tego co wiem to elementy analizy matematycznej były do niedawna w szkole średniej
natomiast zespolone zostały wyrzucone z programu nauczania znacznie wcześniej

To jest równanie trzeciego stopnia więc można by podać te rozwiązanie
Znając trochę trygonometrii nie trzeba nawet korzystać z zespolonych

\(\displaystyle{ x^{3} +3x+2=0\\
x=u+v\\
u^3+v^3+3u^2v+3uv^2+3\left( u+v\right) +2=0\\
u^3+v^3+2+3\left( u+v\right)\left( uv+1\right)=0\\
\begin{cases}u^3+v^3+2=0 \\ 3\left( u+v\right)\left( uv+1\right)=0 \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=-2 \\ uv=-1 \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=-2 \\ u^3v^3=-1 \end{cases} \\
t^2+2t-1=0\\
\left( t+1\right)^2-2=0\\
\left( t+1- \sqrt{2} \right) \left( t+1+ \sqrt{2} \right)=0\\
x_{1}=\sqrt[3]{-1+ \sqrt{2} } + \sqrt[3]{-1- \sqrt{2} }}\)