Nierówność z pierwiastkiem

[Verdana]

Mam taki przykład:
\(\displaystyle{ \sqrt {x^{4}-x^{2}}\leq 4-x^{2}}\)
Zaczynam od podniesienia obu stron do kwadratu, po lewej dostaję wartość bezwzględną, tak? Robię z tego dwie nierówności i tu pojawia się problem. W tej dla wartości dodatnich wychodzi mi ładnie \(\displaystyle{ -\dfrac {4\sqrt {7}} {7}}\) i \(\displaystyle{ \dfrac {4\sqrt {7}} {7}}\), natomiast w tej dla ujemnych coś się psuje. Czy ktoś mógłby to rozwiązać, abym mogła porównać i znaleźć swój błąd?

Poza tym mam ogólnie pytanie dotyczące nierówności z wartością bezwzględną: kiedy wynikiem jest suma przedziałów wyliczonych z każdego równania, a kiedy ich iloczyn?

Dzięki!

[a4karo]

Kod: Zaznacz cały

Zaczynam od podniesienia obu stron do kwadratu

Nie. zaczynasz od dziedziny

, po lewej dostaję wartość bezwzględną, tak?

Nie (pomyśl dlaczego..)

[Verdana]

Ok, dzięki. A co do tej sumy/iloczynu? Rozumiem, że w tym przykładzie mi się nie przyda, ale tak ogólnie.

[Dilectus]

Zacznij od dziedziny, czyli od rozwiązania problemu

\(\displaystyle{ x^4-x^2 \ge 0 \ \Rightarrow \ x \in \left( - \infty , -1\right\rangle \cup \left\{ 0\right\} \cup \left\langle 1, \ \infty \right)}\)

Skoro tak, to mogę w tej dziedzinie bezpiecznie podnieść nierówność stronami do kwadratu

\(\displaystyle{ x^4-x^2 \le 16-8x^2+x^4}\)

\(\displaystyle{ x^2- \frac{16}{7} \le 0 \ \Rightarrow \ x \in \left\langle - \frac{4 \sqrt{7} }{7}, \ \frac{4 \sqrt{7} }{7} \right\rangle}\)

Teraz musisz to rozwiązanie skonfrontować z dziedziną i już.

[cosinus90]

\(\displaystyle{ x^4-x^2 \ge 0 \ \Rightarrow \ x \in \left( - \infty , -1\right\rangle \cup \left\{ 0\right\} \cup \left\langle 1, \ \infty \right)}\)

Skoro tak, to mogę w tej dziedzinie bezpiecznie podnieść nierówność stronami do kwadratu

Jesteś pewien?