Pierwiastki wielomianu

[shreder221]

Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x) = x^3 + ax^2 + bx-1}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są liczbami całkowitymi. Zatem
A) Jezeli równanie \(\displaystyle{ W(x) = 0}\) ma pierwiastek wymierny, to \(\displaystyle{ a + b = 0}\).
B) Jezeli równanie \(\displaystyle{ W(x) = 0}\) ma ujemny pierwiastek całkowity, to \(\displaystyle{ a = b + 2.}\)
C) Równanie \(\displaystyle{ W(x) = 0}\) moze nie mieć rozwiązań
D) Równanie \(\displaystyle{ W(x) = 0}\) musi mieć co najmniej 2 rózne pierwiastki. ˙

ROZWIĄZANIE
1 Z drugiej strony, przynajmniej jeden pierwiastek równanie ma zawsze, bo
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to- \infty } W(x) =- \infty\\
\lim_{ x\to \infty } W(x) = \infty}\)
Zupełnie nie rozumiem tego tłumaczenia w zbiorze nie znalazłem też żadnego twierdzenia mógłby ktoś wytłumaczyć?

2. Jezeli równanie ma pierwiastek wymierny \(\displaystyle{ x _{0}}\), to musi być on całkowity i musi to być dzielnik
wyrazu wolnego, czyli \(\displaystyle{ x _{0}=\pm 1}\)
\(\displaystyle{ x _{0} = 1 \Rightarrow 1 + a + b - 1 = 0 \Rightarrow a + b = 0 \\
x _{0}= -1 \Rightarrow - 1 + a − b - 1 = 0 \Rightarrow a = b + 2.}\)
Czy w związku z 2 nie ma 2 prawidłowych odpowiedzi A/B?

[Jan Kraszewski]

2. Jezeli równanie ma pierwiastek wymierny \(\displaystyle{ x _{0}}\), to musi być on całkowity i musi to być dzielnik
wyrazu wolnego, czyli \(\displaystyle{ x _{0}=\pm 1}\)
\(\displaystyle{ x _{0} = 1 \Rightarrow 1 + a + b - 1 = 0 \Rightarrow a + b = 0 \\
x _{0}= -1 \Rightarrow - 1 + a − b - 1 = 0 \Rightarrow a = b + 2.}\)
Czy w związku z 2 nie ma 2 prawidłowych odpowiedzi A/B?

Nie. Odpowiedź A nie jest poprawna, bo nie masz pewności, czy warunek \(\displaystyle{ a+b=0}\) zajdzie.

JK

[pasman]

Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x) = x^3 + ax^2 + bx-1}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są liczbami całkowitymi. Zatem
A) Jezeli równanie \(\displaystyle{ W(x) = 0}\) ma pierwiastek wymierny, to \(\displaystyle{ a + b = 0}\).
B) Jezeli równanie \(\displaystyle{ W(x) = 0}\) ma ujemny pierwiastek całkowity, to \(\displaystyle{ a = b + 2.}\)
C) Równanie \(\displaystyle{ W(x) = 0}\) moze nie mieć rozwiązań
D) Równanie \(\displaystyle{ W(x) = 0}\) musi mieć co najmniej 2 rózne pierwiastki. ˙

ROZWIĄZANIE
1 Z drugiej strony, przynajmniej jeden pierwiastek równanie ma zawsze, bo
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to- \infty } W(x) =- \infty\\
\lim_{ x\to \infty } W(x) = \infty}\)
Zupełnie nie rozumiem tego tłumaczenia w zbiorze nie znalazłem też żadnego twierdzenia mógłby ktoś wytłumaczyć?

wielomian jest funkcją ciągłą, więc przyjmuje wszystkie wartości z przedziału określonego
przez w/w granice. w tym również 0.

[shreder221]

Okej zrozumiałem Dlaczego nie A ale tak sobie teraz myślę że w sumie można brać też pod uwagę c

Kiedy np. \(\displaystyle{ a=0 \wedge b=4}\) z bezuta nie ma żadnych rozwiązań (\(\displaystyle{ 0 \neq 4 \wedge 0 \neq -4}\)) czyli \(\displaystyle{ W(x)=0}\) MOŻE nie mieć rozwiązań

wielomian jest funkcją ciągłą, więc przyjmuje wszystkie wartości z przedziału określonego
przez w/w granice. w tym również 0.

Ale \(\displaystyle{ C(x)= 5}\) chyba też jest funkcją ciągłą a \(\displaystyle{ 5 \neq 0}\)

Pierwiastki wielomianu - zadanie 116 <--akurat to z matury próbnej zadanie 2

[Jan Kraszewski]

Okej zrozumiałem Dlaczego nie A ale tak sobie teraz myślę że w sumie można brać też pod uwagę c

Kiedy np. \(\displaystyle{ a=0 \wedge b=4}\) z bezuta nie ma żadnych rozwiązań (\(\displaystyle{ 0 \neq 4 \wedge 0 \neq -4}\)) czyli \(\displaystyle{ W(x)=0}\)

Nie pytamy o rozwiązania wymierne, tylko rzeczywiste. A rzeczywiste zawsze jedno jest, więc c) jest nieprawdziwe.

Ale \(\displaystyle{ C(x)= 5}\) chyba też jest funkcją ciągłą a \(\displaystyle{ 5 \neq 0}\)

Nie zrozumiałeś tego, co napisał Ci pasman. Twój przykład ma się nijak do tego, co on napisał.

JK