Wyznaczyć resztę z dzielenia bez dzielenia

Dzonzi · Post autor: **Dzonzi** » 21 mar 2016, o 01:08

\(\displaystyle{ P(x) = x ^{47} + 2x^5 - 13}\)
\(\displaystyle{ Q(x) = x^3 - x^2 + x - 1 = (x^2 + 1)(x-1) = 0}\)

\(\displaystyle{ W(x) = (x-1)(x+1) \cdot Q(x) + Ax^2 + Bx + C}\)

\(\displaystyle{ W(1) = 1 + 2 - 13 = -10}\)
\(\displaystyle{ W(-1) = -1 -2 - 13 = -16}\)

\(\displaystyle{ a + b + c = -10}\)
\(\displaystyle{ -a - b + c = -16}\)
Czy to jest dobry układ? bo coś mi nie wychodzi ;/

a4karo · Post autor: **a4karo** » 21 mar 2016, o 05:41

1. Jak brzmi zadanie?
2. Co to jest \(\displaystyle{ W}\)?
3.dlaczego reszta z dzielenia przez trojmian kwadratowy jest stopnia 2?
4. Skąd się wzięła prawa strona \(\displaystyle{ W(-1)}\)?

Dzonzi · Post autor: **Dzonzi** » 21 mar 2016, o 06:33

1. Tak jak tytuł tematu.
2. W(X) jest ilorazem P(x)/Q(x)
3. \(\displaystyle{ Q(x) = x^3 - x^2 + x - 1}\) Czy to jest trójmian kwadratowy?
4. \(\displaystyle{ W(-1) = (-1) ^{47} + 2(-1) ^{5} - 13}\)

a4karo · Post autor: **a4karo** » 21 mar 2016, o 06:40

1. ale czego przez co?
2. Iloraz \(\displaystyle{ P/Q}\) rzadko kiedy będzie wielomianem
3. ale w "rozwiązaniu" dzielisz przez \(\displaystyle{ (x+1)(x-1)}\) a nie przez \(\displaystyle{ Q}\)
4. Nie mylisz przypadkiem \(\displaystyle{ P}\) z \(\displaystyle{ W}\) ?

Dzonzi · Post autor: **Dzonzi** » 21 mar 2016, o 06:49

1. \(\displaystyle{ P(x) / Q(x)}\)
2. i to jest chyba ten rzadki przypadek
3. Rozłożyłem go i wyszedł podwójny pierwiastek, więc sprawdzałem tylko dla -1 i 1
4. No tutaj pomyliłem

a4karo · Post autor: **a4karo** » 21 mar 2016, o 06:56

2 nie jest (gdyby był, to reszta byłoby zero)
3 sądzisz, że \(\displaystyle{ -1}\) jest pierwiastkiem \(\displaystyle{ Q}\)?

Dzonzi · Post autor: **Dzonzi** » 21 mar 2016, o 07:11

No faktycznie nie jest. To jak się za to zabrać?

a4karo · Post autor: **a4karo** » 21 mar 2016, o 07:55

Napisz \(\displaystyle{ P(x)=W(x)Q(x)+R(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ W}\) jest pewnym wielomianem (który mało Cię obchodzi), a \(\displaystyle{ R(x)=ax^2+bx+c}\) jest tym, czego szukasz.

Podstaw za \(\displaystyle{ x}\) pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ Q}\) (ma ich trzy, choć niekoniecznie rzeczywiste). W ten sposób dostaniesz układ trzech równań z trzema niewiadomymi \(\displaystyle{ a,b,c}\)

Dzonzi · Post autor: **Dzonzi** » 21 mar 2016, o 08:19

omg to będę zespolone ;/

A w tym będą też zespolone czy rzeczysiste?
\(\displaystyle{ P(x) = x^8 + 3x^5 + x^2 + 4}\)
\(\displaystyle{ Q(x) = x^2 - 1}\)

\(\displaystyle{ R(x) = 3x + 6}\)

a4karo · Post autor: **a4karo** » 21 mar 2016, o 08:56

A jakie pierwiastki ma wielomian \(\displaystyle{ Q}\)?