Wielomian z parametrem

[misiekz]

witam, mam problem ze znalezieniem warunku na 3 różne rzeczywiste miejsca zerowe w \(\displaystyle{ W(x)= x^{3} - ax - 5a - 125}\)
proszę o wskazówkę ;P

[kerajs]

\(\displaystyle{ W'=3x^2-a}\)
dla \(\displaystyle{ a \le 0}\) pochodna jest nieujemna dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ \Rightarrow}\)
funkcja jest rosnąca \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) czwórmian ma jedno rzeczywiste miejsce zerowe

dla \(\displaystyle{ a > 0}\) masz
\(\displaystyle{ W'=3 \left( x- \sqrt{ \frac{a}{3} } \right) \left( x+ \sqrt{ \frac{a}{3} } \right)}\)
Są trzy rzeczywiste miejsca zerowe gdy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} W _{min}\left\langle 0 \\ W _{max} \right\rangle0 \end{cases} =
\begin{cases} W \left( \sqrt{ \frac{a}{3} } \right) \left\langle 0 \\ W \left( -\sqrt{ \frac{a}{3} } \right) \right\rangle0 \end{cases}}\)

Ale jeśli pomyliłeś się przy przepisywaniu i wielomian wygląda tak:
\(\displaystyle{ W \left( x \right) = x^{3} + ax - 5a - 125 \\
W \left( x \right) = x^{3} - ax + 5a - 125 \\
W \left( x \right) = -x^{3} - ax - 5a - 125 \\
W \left( x \right) = x^{3} - ax - 5a + 125}\)
To znając jego jeden pierwiastek (\(\displaystyle{ 5}\) w dwóch pierwszych i \(\displaystyle{ -5}\) w kolejnych) uzyskujesz postać iloczynową i analizować możesz trójmian.

[misiekz]

Ożesz, pomyliłem się w przepisaniu z tablicy powinno być: \(\displaystyle{ W(x)= x^{3} - ax + 5a - 125}\), co daje nam: \(\displaystyle{ W(x)=(x-5)( x^{2} + 5x + 25) - a(x-5) = (x-5)( x^{2} + 5x + 25 - a)}\)
I z tego liczymy deltę >0, z której obliczymy pierwiastki różne od 5.
Dziękuje serdecznie i przepraszam za błąd