Wyznacz wartości parametru

VorMan · Post autor: **VorMan** » 20 mar 2016, o 20:51

Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x)= 2x^{3}+ (m-2)x^{2}+(8-m)x -8}\), gdzie parametr \(\displaystyle{ m \in C}\). Wyznacz wszystkie te wartości parametru dla których dany wielomian ma trzy różne pierwiastki \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2} , x _{3}}\), spełniające warunek \(\displaystyle{ \frac{x_{1}* x_{2}* x _{3}}{x_{1}+ x_{2}+x _{3}}> \frac{1}{2}}\)

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 20 mar 2016, o 20:57

Sprawdź \(\displaystyle{ x=1}\)

Premislav · Post autor: **Premislav** » 20 mar 2016, o 20:58

Zauważ, że \(\displaystyle{ 1}\) jest pierwiastkiem tego wielomianu. Możesz go [ten wielomian] zatem zapisać w postaci \(\displaystyle{ (x-1)(2x^{2}+c(m)x+8)}\), gdzie \(\displaystyle{ c(m)}\) jest jakimś wyrażeniem zależnym od \(\displaystyle{ m}\) - znajdź je. Dalej liczysz wyróżnik trójmianu - musi być on dodatni, a ponadto żaden z pierwiastków tego trójmianu nie może być jedynką (bo wtedy \(\displaystyle{ W(x)}\) miałby pierwiastek podwójny \(\displaystyle{ 1}\)). Natomiast \(\displaystyle{ x_{1}x_{2}x_{3}}\) oraz \(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}}\)
do tego drugiego warunku najłatwiej wyznaczysz ze wzorów Viete'a dla wielomianu trzeciego stopnia.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 20 mar 2016, o 20:59

Po co mu trzeci stopień jak w zasadzie już go nie ma ?

Premislav · Post autor: **Premislav** » 20 mar 2016, o 21:03

Słuszna uwaga, znany jest już jeden pierwiastek, więc wystarczą wzory Viete'a dla tego trójmianu.

VorMan · Post autor: **VorMan** » 20 mar 2016, o 21:18

Tylko że za Chiny nie wiem jak wyznaczyć (u ciebie) c(x)m. Z dzielenia wielomianów przez dwumian to raczej nie da rady

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 20 mar 2016, o 21:22

VorMan pisze:Tylko że za Chiny nie wiem jak wyznaczyć (u ciebie) c(x)m. Z dzielenia wielomianów przez dwumian to raczej nie da rady

Właśnie da radę, możesz Hornerem.

VorMan · Post autor: **VorMan** » 20 mar 2016, o 21:26

racja. popełniłem błąd obliczeniowy -- 20 mar 2016, o 21:30 --Czy te wzory będą dobre?
Dla \(\displaystyle{ W(x)=ax^3+bx^2+ cx + d}\)
\(\displaystyle{ x_1+ x_2+ x_3 =- \frac{b}{a} \\ x_1 \cdot x_2 \cdot x_3=- \frac{d}{a}}\)

Premislav · Post autor: **Premislav** » 20 mar 2016, o 21:35

Tak, te wzory są OK. Aczkolwiek piasek101 słusznie wskazał, że skoro jeden pierwiastek już znamy, to można go podstawić do sumy \(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}}\) oraz iloczynu \(\displaystyle{ x_{1}x_{2}x_{3}}\), a sumę i iloczyn dwóch pozostałych wyliczyć ze wzorów Viete'a dla wielomianu drugiego stopnia.

VorMan · Post autor: **VorMan** » 20 mar 2016, o 21:46

święta racja. nie zrozumiałem tego na początku. teraz już z górki. dziękuję bardzo