Ile pierwiastków ma wielomian w przedziale.

[tangerine11]

\(\displaystyle{ w\left( x\right) = x^{3} - x^{2} - 2x + 1}\)
Kompletnie nie wiem jak rozłożyć ten wielomian żeby wyznaczyć miejsca zerowe

[szw1710]

Sprawdź znaki \(\displaystyle{ w(2)}\) oraz \(\displaystyle{ w(-2)}\) oraz monotoniczność funkcji \(\displaystyle{ w}\).

[tangerine11]

Czyli dla \(\displaystyle{ w(-2)}\) i \(\displaystyle{ w(2)}\) wielomian ma przeciwne znaki, pochodna ma dwa miejsca zerowe czyli 2 ekstrema... miejsca zerowe pochodnej są takie średnio ładne ale z przybliżenia wynika że należą do przedziału
Czyli będą 3 pierwiastki w tym przedziale? Dwa które ujmuje pochodna i jedno bo musi jeszcze 'wrócić' na odpowiednią stronę
Nie wiem czy dobrze myślę, może być w ogóle ekstremum którego nie ujmuje pochodna?

[Dilectus]

tangerine11, zbadałeś monotoniczność tej funkcji, jak radził szw1710 ?

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ w\left( x\right) = x^{3} - x^{2} - 2x + 1\\
x^3-x^2-2x+1=0\\
x=y+\frac{1}{3}\\
\left(y+\frac{1}{3} \right) ^3-\left( y+ \frac{1}{3} \right)^2-2\left( y+\frac{1}{3}\right) +1=0\\
y^3+y^2+\frac{1}{3}y+\frac{1}{27}-y^2-\frac{2}{3}y-\frac{1}{9}-2y-\frac{2}{3}+1=0\\
y^3-\frac{7}{3}y+\frac{7}{27}=0\\
y=u+v\\
\left( u+v\right)^3-\frac{7}{3}\left( u+v\right) +\frac{7}{27}=0\\
u^3+3u^2v+3uv^2+v^3- \frac{7}{3}\left( u+v\right)+\frac{7}{27}=0\\
u^3+v^3+\frac{7}{27}+3\left( u+v\right)\left( uv-\frac{7}{9}\right)=0\\
\begin{cases} u^3+v^3+\frac{7}{27}=0 \\ 3\left( u+v\right)\left( uv-\frac{7}{9}\right) \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3+\frac{7}{27}=0 \\ uv-\frac{7}{9} \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=-\frac{7}{27} \\ uv=\frac{7}{9} \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=-\frac{7}{27} \\ u^3v^3=\frac{343}{729} \end{cases} \\
t^2+\frac{7}{27}t+\frac{343}{729}=0\\
t^2+2 \cdot \left( \frac{7}{54}\right)t+ \frac{49}{2916}-\frac{49}{2916}+\frac{1372}{2916} \\
\left( t+\frac{7}{54}\right)^2+\frac{1323}{2916} =0\\
\left(t+\frac{7+ \sqrt{1323}i }{54} \right)\left(t+\frac{7- \sqrt{1323}i }{54} \right) =0\\
\left(t+\frac{28+ 84\sqrt{3}i }{216} \right)\left(t+\frac{28- 84\sqrt{3}i }{216} \right) =0\\

\sqrt[3]{-28-84 \sqrt{3}i }= 2 \sqrt{7}\left( \cos{\left( \frac{\arctan{\left( 3 \sqrt{3} \right)-\pi }}{3} \right) }+i\sin{\left( \frac{\arctan{\left( 3 \sqrt{3} \right)-\pi }}{3} \right) }\right) \\
\sqrt[3]{-28+84 \sqrt{3}i }=2 \sqrt{7} \left( \cos{ \frac{-\arctan{\left( 3\sqrt{3}\right) }+\pi}{3} }+i\sin{ \frac{-\arctan{\left( 3\sqrt{3}\right) }+\pi}{3} }\right) \\}\)
\(\displaystyle{ y_{1}=\frac{2}{3} \sqrt{7}\cos{\left( \frac{\arctan{\left( 3 \sqrt{3} \right)-\pi }}{3} \right) } \\
x_{1}=\frac{2}{3} \sqrt{7}\cos{\left( \frac{\pi-\arctan{\left( 3 \sqrt{3} \right) }}{3} \right) }+\frac{1}{3}\\
x_{2}=\frac{2}{3} \sqrt{7}\cos{\left( \frac{3\pi-\arctan{\left( 3 \sqrt{3} \right) }}{3} \right) }+\frac{1}{3}\\
x_{3}=\frac{2}{3} \sqrt{7}\cos{\left( \frac{5\pi-\arctan{\left( 3 \sqrt{3} \right) }}{3} \right) }+\frac{1}{3}\\}\)

[a4karo]

Z faktu, że pochodna na w tym przedziale dwa pierwiastki nie wynika, że funkcja na ich trzy.

Polecam twierdzenie Sturma.-- 25 mar 2016, o 06:37 --mariuszm się mocno napracowal, ale niestety zadania nie rozwiązał,, bo nie wiadomo czy te potwory leżą w tym przedziale co trzeba.

[Mariusz M]

Wiadomo że leżą w przedziale

\(\displaystyle{ \left\langle \frac{1}{3}\left(1-2 \sqrt{7} \right), \frac{1}{3}\left( 1+2 \sqrt{7} \right) \right\rangle}\)

a jaki miał być ten przedział ?

[a4karo]

Jak popatrzysz na drugi post autora, to zobaczysz, że \(\displaystyle{ (-1,2)}\). Niestety, Twój prawy koniec jest za duży

[Mariusz M]

W podanym przez mnie przedziale powinny się znaleźć wszystkie pierwiastki
Jeśli chcemy sprawdzić podany przez ciebie przedział to wystarczy obliczyć wartość
podanych przeze mnie pierwiastków
Zdaje się że tylko dwa będą leżeć w podanym przez ciebie przedziale
oraz wszystkie w przedziale podanym przez Szymona W

Bez obliczania wartości cosinusa można ograniczyć przez \(\displaystyle{ -1}\) z dołu
oraz \(\displaystyle{ 1}\) z góry