\(\displaystyle{ f(x) = x^{3} + 3x^{2} +kx + k}\)
Należy wyznaczyć liczbę rozwiązań w zależności od parametru \(\displaystyle{ k}\). Zbadałem granice w nieskończonościach i wywnioskowałem, ze funkcja ma co najmniej jedno miejsce zerowe. Następnie pomyślałem, że jeśli pochodna funkcji ma dwa pierwiastki, a wartości maksimum i minimum będą liczbami o różnych znakach, to funkcja posiada 3 pierwiastki. Funkcja będzie miała 2 pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy jedno z ekstremów będzie równe zeru. Czy w powyższym rozumowaniu jest błąd? Po podstawieniu ekstremów \(\displaystyle{ x_{1} = a}\) i \(\displaystyle{ x_{2} = b}\) do wzoru funkcji, otrzymałem nierówność:
\(\displaystyle{ (a^{3} + 3a^{2} + ka + k)(b^{3} + 3b^{2} + kb + k) > 0}\)
Skorzystałem tu ze wzorów Viete'a, gdyż funkcja pochodna jest drugiego stopnia. Po mozolnych obliczeniach wyszły mi brzydkie pierwiastki niewymierne, które nie pokrywają się z odpowiedziami. Gdzie jest błąd?
Wyznacz liczbę rozwiązań w zalezności od parametru
-
- Użytkownik
- Posty: 279
- Rejestracja: 16 lip 2015, o 11:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lub
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 21 razy
Wyznacz liczbę rozwiązań w zalezności od parametru
Wyznaczyć liczbę rozwiązań jakiego równania? \(\displaystyle{ f(x)=0}\)? Jeśli tak to proponuję wyznaczyć \(\displaystyle{ k}\) na początek.
- Larsonik
- Użytkownik
- Posty: 267
- Rejestracja: 17 lut 2016, o 11:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódzkie
- Podziękował: 57 razy
- Pomógł: 40 razy
Wyznacz liczbę rozwiązań w zalezności od parametru
Tak, \(\displaystyle{ f(x) = 0}\). Kurczę, ja się gimnastykowałem z pochodnymi, a to tak łatwo. \(\displaystyle{ k = \frac{-x^{3} - 3x}{x + 1} = g(x)}\) i wystarczy zbadać przebieg zmienności funkcji. Zastanawiam się teraz jak z dziedziną. Dzieląc przez \(\displaystyle{ x + 1}\) wypadło mi \(\displaystyle{ -1}\) z dziedziny, ale badając \(\displaystyle{ f(-1) = 0}\) otrzymujemy sprzeczność, więc wszystko jest ok?