Wyznacz liczbę rozwiązań w zalezności od parametru

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Awatar użytkownika
Larsonik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 267
Rejestracja: 17 lut 2016, o 11:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódzkie
Podziękował: 57 razy
Pomógł: 40 razy

Wyznacz liczbę rozwiązań w zalezności od parametru

Post autor: Larsonik »

\(\displaystyle{ f(x) = x^{3} + 3x^{2} +kx + k}\)

Należy wyznaczyć liczbę rozwiązań w zależności od parametru \(\displaystyle{ k}\). Zbadałem granice w nieskończonościach i wywnioskowałem, ze funkcja ma co najmniej jedno miejsce zerowe. Następnie pomyślałem, że jeśli pochodna funkcji ma dwa pierwiastki, a wartości maksimum i minimum będą liczbami o różnych znakach, to funkcja posiada 3 pierwiastki. Funkcja będzie miała 2 pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy jedno z ekstremów będzie równe zeru. Czy w powyższym rozumowaniu jest błąd? Po podstawieniu ekstremów \(\displaystyle{ x_{1} = a}\) i \(\displaystyle{ x_{2} = b}\) do wzoru funkcji, otrzymałem nierówność:

\(\displaystyle{ (a^{3} + 3a^{2} + ka + k)(b^{3} + 3b^{2} + kb + k) > 0}\)

Skorzystałem tu ze wzorów Viete'a, gdyż funkcja pochodna jest drugiego stopnia. Po mozolnych obliczeniach wyszły mi brzydkie pierwiastki niewymierne, które nie pokrywają się z odpowiedziami. Gdzie jest błąd?
mint18
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 279
Rejestracja: 16 lip 2015, o 11:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lub
Podziękował: 160 razy
Pomógł: 21 razy

Wyznacz liczbę rozwiązań w zalezności od parametru

Post autor: mint18 »

Wyznaczyć liczbę rozwiązań jakiego równania? \(\displaystyle{ f(x)=0}\)? Jeśli tak to proponuję wyznaczyć \(\displaystyle{ k}\) na początek.
Awatar użytkownika
Larsonik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 267
Rejestracja: 17 lut 2016, o 11:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódzkie
Podziękował: 57 razy
Pomógł: 40 razy

Wyznacz liczbę rozwiązań w zalezności od parametru

Post autor: Larsonik »

Tak, \(\displaystyle{ f(x) = 0}\). Kurczę, ja się gimnastykowałem z pochodnymi, a to tak łatwo. \(\displaystyle{ k = \frac{-x^{3} - 3x}{x + 1} = g(x)}\) i wystarczy zbadać przebieg zmienności funkcji. Zastanawiam się teraz jak z dziedziną. Dzieląc przez \(\displaystyle{ x + 1}\) wypadło mi \(\displaystyle{ -1}\) z dziedziny, ale badając \(\displaystyle{ f(-1) = 0}\) otrzymujemy sprzeczność, więc wszystko jest ok?
ODPOWIEDZ