- - pochodnych,
- wyróżnika funkcji kwadratowego, tzn.\(\displaystyle{ \Delta}\),Kod: Zaznacz cały
https://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_function#Exact_roots
- wykresu funkcji
Chodzi o dowód na zasadzie przyjęcia założenia:
\(\displaystyle{ x_1, x_2 \in \mathbb{R}}\) i \(\displaystyle{ x_1>x_2}\)
i pokazanie, że \(\displaystyle{ f(x_1)-f(x_2)>0}\).
___
Do czego udało mi się dojść:
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{ll}
f(x_1) - f(x_2)&=\left( x_1^3 - x_1^2 + x_1\right) - \left( x_2^3 - x_2^2 + x_2\right) =\\
&=\left( x_1^3 - x_2^3\right) - \left( x_1^2 - x_2^2\right) + \left( x_1 - x_2\right) =\\
&=\left( x_1 - x_2\right) \cdot \left( x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2\right) - \left( x_1 - x_2\right) \cdot \left( x_1 + x_2\right) +\left( x_1 - x_2\right) =\\
&=\underbrace{(x_1 - x_2)}_{\text{z zał. }>\ 0}\cdot \underbrace{(x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2 - x_1 - x_2 + 1)}_{\text{oznaczmy jako }g(x_1, x_2)}
\end{tabular}}\)
Pozostaje udowodnić, że \(\displaystyle{ g\left( x_1, x_2\right) >0}\). Tylko jak?
Zdaje mi się, że da się to rozpisać jakoś sprytnie jako jakaś suma czegoś dodatniego i \(\displaystyle{ \left( \pm x_1 \pm x_2 \pm k\right) ^2}\), gdzie \(\displaystyle{ k\in\{1,2\}}\), ale
Kod: Zaznacz cały
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x_1+%2B+x_2+%2B+1%29%5E2