Proste równanie

revage · Post autor: **revage** » 7 mar 2016, o 20:13

\(\displaystyle{ x^{3}-7x +6}\) Mam rozwiązać takie równanie, więc szukam pierwiastków całkowitych wśród dzienników wyrazu wolnego. I teraz jak już znajdę pierwiastki całkowite to muszę szukać pierwiastków wymiernych? Tak czy nie i dlaczego?

Milczek · Post autor: **Milczek** » 7 mar 2016, o 20:15

Zależy, wielomian ma ten co najwyżej trzy pierwiastki rzeczywiste, jeśli uda Ci się tą metodą znaleźć wszystkie trzy to po wyciągnięciu wniosku z pierwszego zdania wiadomo że już nie musisz szukać. Natomiast gdy nie uda Ci się znaleźć wszystkich możliwych pierwiastków, to oznacza że wielomian może mieć jakieś niewymierne albo może mieć ich mniej niż trzy jak w tym przypadku.
Wtedy musisz rozkładać wielomian na czynniki pierwsze.

florek177 · Post autor: **florek177** » 7 mar 2016, o 20:18

ma trzy całkowite ( dwa dodatnie i ujemny )

revage · Post autor: **revage** » 7 mar 2016, o 20:19

Dzięki-- 7 mar 2016, o 21:22 --A może mieć niewymierne? Jak wtedy ich szukać?

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 7 mar 2016, o 23:22

\(\displaystyle{ x^{3}-7x +6=0\\
x=u+v\\
u^3+3u^2v+3uv^2+v^3-7\left( u+v\right)+6=0\\
u^3+v^3+6+3\left( u+v\right)\left( uv- \frac{7}{3} \right)=0\\
\begin{cases} u^3+v^3+6=0 \\uv- \frac{7}{3}=0 \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=-6 \\uv= \frac{7}{3} \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=-6 \\u^3v^3= \frac{343}{27} \end{cases} \\
t^2+6t+\frac{343}{27}=0\\
t^2+6t+9+\frac{100}{27}=0\\
\left( t+3\right)^2+\frac{300}{81}=0\\
\left( t+3- \frac{10 \sqrt{3} }{9}i \right)\left( t+3+ \frac{10 \sqrt{3} }{9}i \right)=0\\
\left( t+ \frac{81-30 \sqrt{3} }{27}i \right)\left( t+ \frac{81+30 \sqrt{3} }{27}i \right)=0\\
u= \frac{1}{3}\sqrt[3]{-81+30 \sqrt{3}i}\\
v=\frac{1}{3}\sqrt[3]{-81-30 \sqrt{3}i} \\
u=\frac{ \sqrt{21} }{3}\left( \cos{\left( \frac{\left( -\arctan{\left( \frac{10 \sqrt{3} }{27}\right)+\pi }\right) }{3} \right) }+i\sin{\left( \frac{\left( -\arctan{\left( \frac{10 \sqrt{3} }{27}\right)+\pi }\right) }{3} \right) }\right)\\
v=\frac{ \sqrt{21} }{3}\left( \cos{\left( \frac{\left( \arctan{\left( \frac{10 \sqrt{3} }{27}\right)-\pi }\right) }{3} \right) }+i\sin{\left( \frac{\left( \arctan{\left( \frac{10 \sqrt{3} }{27}\right)-\pi }\right) }{3} \right) }\right)\\
x_{1}=\frac{2 \sqrt{21} }{3}\cos{\left( \frac{\left( \pi-\arctan{\left( \frac{10 \sqrt{3} }{27}\right) }\right) }{3} \right) }\\}\)

Pozostałe pierwiastki znajdujesz sprawdzając czy kolejne znalezione pary \(\displaystyle{ \left( u,v\right)}\)
spełniają układ równań \(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3=-6 \\uv= \frac{7}{3} \end{cases}}\)
lub dzieląc wielomian przez dwumian \(\displaystyle{ x-x_{1}}\)

a4karo · Post autor: **a4karo** » 7 mar 2016, o 23:24

Na mariuszm zawsze można liczyć Powiedz jeszcze, które z tych monstrów jest jedynką?

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 7 mar 2016, o 23:33

Chciała wiedzieć jak szukać gdy są niewymierne
Jedynkę dostaniemy gdy sprawdzimy kolejne pary \(\displaystyle{ \left( u,v\right)}\)

Znaleziony pierwiastek jest dwójką

revage, pomysł działa tylko na równania trzeciego i czwartego stopnia
W przypadku równania czwartego stopnia równanie rozwiązujące nie jest kwadratowe
tylko trzeciego stopnia więc podstawiasz za \(\displaystyle{ x}\) sumę trzech składników

W przypadku równania czwartego stopnia sposób może wymagać więcej obliczeń więc
bardziej praktyczne może okazać się rozłożenie wielomianu czwartego stopnia najpierw
na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych .
W tym podejściu także nie unikniesz potrzeby rozwiązania równania trzeciego stopnia