Dowód nierówności

[whitemanxy]

Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ x + y = 6}\) to \(\displaystyle{ x^4 + y^4 \ge 162}\).

[Milczek]

Typowo pałkarsko(nauczyłem się tego z forum), \(\displaystyle{ x=6-y}\) , wstawiasz do nierówności i rozwiązujesz nierówność z jedną zmienną

[NogaWeza]

Pewnie da się jakoś sprytnie, ale można wyznaczyć z równania jedną zmienną, na przykład \(\displaystyle{ y = 6-x}\) i rozpatrzyć funkcję \(\displaystyle{ f(x) = (6-x)^4 + x^4}\). Teraz można użyć rachunku różniczkowego by wykazać, że funkcja przyjmuje wartości większe niż \(\displaystyle{ 162}\) w całej swojej dziedzinie.

[bakala12]

Hardo, ale sprytnie:
Funkcja \(\displaystyle{ f\left(x\right)=x^{4}}\) jest wypukła w całej dziedzinie, więc z nierówności Jensena:
\(\displaystyle{ x^{4}+y^{4} \ge 2 \cdot \left(\frac{x+y}{2}\right)^{4}=2\cdot 3^{4}=162}\)

[whitemanxy]

Pewnie da się jakoś sprytnie, ale można wyznaczyć z równania jedną zmienną, na przykład \(\displaystyle{ y = 6-x}\) i rozpatrzyć funkcję \(\displaystyle{ f(x) = (6-x)^4 + x^4}\). Teraz można użyć rachunku różniczkowego by wykazać, że funkcja przyjmuje wartości większe niż \(\displaystyle{ 162}\) w całej swojej dziedzinie.

Nie pomyślałem żeby skorzystać z pochodnej. Spróbuję w ten sposób. Dzięki

[Zahion]

Z oczywistej nierówności \(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} \ge \frac{\left( a+b\right)^{2}}{2}}\) mamy, że
\(\displaystyle{ x^{4} + y^{4} \ge \frac{ \left( \frac{\left( x+y\right)^{2} }{2}\right)^{2} }{2}}\) ( dwa razy ją zastosowaliśmy ).

[bosa_Nike]

Jeszcze Hoelder \(\displaystyle{ 2^3\left(x^4+y^4\right)\ge (x+y)^4}\)

Równoważnie \(\displaystyle{ L-P=(x-y)^2\left(2x^2+2y^2+5(x+y)^2\right)\ge 0}\)

Można to z góry przekształcić do znanego \(\displaystyle{ \sqrt[4]{\frac{x^4+y^4}{2}}\ge\frac{x+y}{2}}\)