Dowód nierówności
-
- Użytkownik
- Posty: 49
- Rejestracja: 16 lis 2013, o 15:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 18 razy
Dowód nierówności
Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ x + y = 6}\) to \(\displaystyle{ x^4 + y^4 \ge 162}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 821
- Rejestracja: 22 lut 2013, o 19:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 84 razy
- Pomógł: 45 razy
Dowód nierówności
Typowo pałkarsko(nauczyłem się tego z forum), \(\displaystyle{ x=6-y}\) , wstawiasz do nierówności i rozwiązujesz nierówność z jedną zmienną
- NogaWeza
- Użytkownik
- Posty: 1481
- Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 147 razy
- Pomógł: 300 razy
Dowód nierówności
Pewnie da się jakoś sprytnie, ale można wyznaczyć z równania jedną zmienną, na przykład \(\displaystyle{ y = 6-x}\) i rozpatrzyć funkcję \(\displaystyle{ f(x) = (6-x)^4 + x^4}\). Teraz można użyć rachunku różniczkowego by wykazać, że funkcja przyjmuje wartości większe niż \(\displaystyle{ 162}\) w całej swojej dziedzinie.
-
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
Dowód nierówności
Hardo, ale sprytnie:
Funkcja \(\displaystyle{ f\left(x\right)=x^{4}}\) jest wypukła w całej dziedzinie, więc z nierówności Jensena:
\(\displaystyle{ x^{4}+y^{4} \ge 2 \cdot \left(\frac{x+y}{2}\right)^{4}=2\cdot 3^{4}=162}\)
Funkcja \(\displaystyle{ f\left(x\right)=x^{4}}\) jest wypukła w całej dziedzinie, więc z nierówności Jensena:
\(\displaystyle{ x^{4}+y^{4} \ge 2 \cdot \left(\frac{x+y}{2}\right)^{4}=2\cdot 3^{4}=162}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 49
- Rejestracja: 16 lis 2013, o 15:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 18 razy
Dowód nierówności
Nie pomyślałem żeby skorzystać z pochodnej. Spróbuję w ten sposób. DziękiNogaWeza pisze:Pewnie da się jakoś sprytnie, ale można wyznaczyć z równania jedną zmienną, na przykład \(\displaystyle{ y = 6-x}\) i rozpatrzyć funkcję \(\displaystyle{ f(x) = (6-x)^4 + x^4}\). Teraz można użyć rachunku różniczkowego by wykazać, że funkcja przyjmuje wartości większe niż \(\displaystyle{ 162}\) w całej swojej dziedzinie.
-
- Moderator
- Posty: 2095
- Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
- Podziękował: 139 razy
- Pomógł: 504 razy
Dowód nierówności
Z oczywistej nierówności \(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} \ge \frac{\left( a+b\right)^{2}}{2}}\) mamy, że
\(\displaystyle{ x^{4} + y^{4} \ge \frac{ \left( \frac{\left( x+y\right)^{2} }{2}\right)^{2} }{2}}\) ( dwa razy ją zastosowaliśmy ).
\(\displaystyle{ x^{4} + y^{4} \ge \frac{ \left( \frac{\left( x+y\right)^{2} }{2}\right)^{2} }{2}}\) ( dwa razy ją zastosowaliśmy ).
-
- Użytkownik
- Posty: 1665
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 445 razy
Dowód nierówności
Jeszcze Hoelder \(\displaystyle{ 2^3\left(x^4+y^4\right)\ge (x+y)^4}\)
Równoważnie \(\displaystyle{ L-P=(x-y)^2\left(2x^2+2y^2+5(x+y)^2\right)\ge 0}\)
Można to z góry przekształcić do znanego \(\displaystyle{ \sqrt[4]{\frac{x^4+y^4}{2}}\ge\frac{x+y}{2}}\)
Równoważnie \(\displaystyle{ L-P=(x-y)^2\left(2x^2+2y^2+5(x+y)^2\right)\ge 0}\)
Można to z góry przekształcić do znanego \(\displaystyle{ \sqrt[4]{\frac{x^4+y^4}{2}}\ge\frac{x+y}{2}}\)