Uzasadnij brak pierwiastków wymiernych

Larsonik · Post autor: **Larsonik** » 24 lut 2016, o 12:26

\(\displaystyle{ W(x) = x^{5} + 4x^{4} + 3x^{3} + 2x^{2} + x +3^{120}}\)

Czy wystarczy tu pokazać, że skoro \(\displaystyle{ W(1) \neq 0 , W(-1) \neq 0 , W(-3) \neq 0 , W(3) \neq 0}\), to wielomian na pewno nie pierwiastków wymiernych?

SlotaWoj · Post autor: **SlotaWoj** » 24 lut 2016, o 12:55

Tak.

Edit:
Jak wykazała dyskusja poniżej, za bardzo pośpieszyłem się z tym Tak. Brak koncentracji.

Larsonik · Post autor: **Larsonik** » 24 lut 2016, o 12:56

Dziękuję za rozwiązanie wątpliwości

a4karo · Post autor: **a4karo** » 24 lut 2016, o 13:18

SlotaWoj,

Możesz uzasadnić dlaczego?

Milczek · Post autor: **Milczek** » 24 lut 2016, o 13:43

Skoro współczynnik przy najwyższe potędze to \(\displaystyle{ 1}\) to z tw o wymiernych pierwiastkach wielomianu wynika że potencjalne pierwiastki wymierne są całkowite.-- 24 lut 2016, o 13:44 --Ale liczba całkowita jest też wymierną więc coś nie do końca...

Premislav · Post autor: **Premislav** » 24 lut 2016, o 13:54

Ja nie widzę za Chiny ludowe, czemu wystarczy sprawdzić te przypadki, ale mam chyba inne rozwiązanie (przedstawię zarys):
łatwo widać, że wielomian ten nie ma pierwiastków dodatnich, jak też zero nie jest jego pierwiastkiem, a zatem z tw. o pierwiastkach wymiernych jeśli miałby on pierwiastek wymierny, to byłaby to liczba postaci \(\displaystyle{ -3^{k}, k \in\left\{ 0,1,...120\right\}}\). Ale jeśli \(\displaystyle{ 0<k<120}\), to \(\displaystyle{ 3^{k}}\) dzieli \(\displaystyle{ W(-3^{k})}\), ale \(\displaystyle{ 3^{k+1}}\) już nie. Dla \(\displaystyle{ k=120}\) iks kasuje się z \(\displaystyle{ 3^{120}}\) i zostaje coś, co nie dzieli się przez \(\displaystyle{ 3^{360}}\), a przez \(\displaystyle{ 3^{240}}\) owszem, więc to nie może być zero, a dla \(\displaystyle{ k=0}\) wstawiamy na pałę, liczymy, wielomian się nie zeruje. Koniec.

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 24 lut 2016, o 15:12

Do tego twierdzenia trzeba sprawdzić każdą potęgę trójki, bo są dzielnikami wyrazu wolnego.

Larsonik · Post autor: **Larsonik** » 25 lut 2016, o 22:03

Nie wiem czemu założyłem, że jeśli \(\displaystyle{ -3}\) nie jest pierwiastkiem, to żadna jej wielokrotność też być nie może, głupota Premislav, czy mógłbyś mi wytłumaczyć, co wynika z tego?

Ale jeśli \(\displaystyle{ 0<k<120}\), to \(\displaystyle{ 3^{k}}\) dzieli \(\displaystyle{ W(-3^{k})}\), ale \(\displaystyle{ 3^{k+1}}\) już nie.

Premislav · Post autor: **Premislav** » 25 lut 2016, o 22:07

W zasadzie nie powinienem pisać o tym, że \(\displaystyle{ 3^{k}}\) dzieli \(\displaystyle{ W(-3^{k}),}\) bo to stwierdzenie jest oczywiste i samo w sobie w ogóle niepotrzebne, wybacz, ale nie jestem zbyt bystry. Gdyby było
\(\displaystyle{ W(-3^{k})=0}\), to każda liczba naturalna (no dobra, wg niektórych definicji oprócz zera) byłaby dzielnikiem \(\displaystyle{ W(-3^{k}),}\) ale w tym wypadku nie jest, bo dla \(\displaystyle{ k}\) ze wspominanego zakresu jedynym składnikiem niepodzielnym przez \(\displaystyle{ 3^{k+1}}\)będzie \(\displaystyle{ x=-3^{k}}\)

Larsonik · Post autor: **Larsonik** » 25 lut 2016, o 22:29

Kurczę, nie wiem, czy dobrze zrozumiałem, co napisałeś, ale czy jeśli jeden składnik sumy jest niepodzielny przez daną liczbę, to ta suma też nie może być przez nią podzielną?

Premislav · Post autor: **Premislav** » 25 lut 2016, o 22:34

Chyba chciałeś napisać "to ta suma nie może być przez nią podzielną", nie czepiam się, tylko wolę, żeby było jasne. Jeśli o to chodziło, to tak (o ile rzecz jasna pozostałe składniki są podzielne).

Larsonik · Post autor: **Larsonik** » 25 lut 2016, o 22:47

Oczywiście, ze chodziło mi o sumę a nie o liczbę, już poprawiłem. Teraz mi zaskoczyło, zapomniałem o fakcie, że pozostałe składniki są podzielne i dlatego miałem wątpliwości. Dzięki za tłumaczenie tak ciężko kapującej głowie jak moja, fajne rozwiązanie.