Nierówność prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej
-
- Użytkownik
- Posty: 35
- Rejestracja: 17 sie 2015, o 17:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska/lubelskie
Nierówność prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej
Wykaż, że nierówność jest prawdziwa dla \(\displaystyle{ x \in \RR}\)
\(\displaystyle{ x^{4}-x^{2}-2x+3>0\\
x^{4}-2x^{2}+x^{2}-2x+3>0\\
x^{2}(x^{2}-2)+x(x-2)+3>0}\)
Jak to dalej rozpisać? Wiem, że trzeba to pogrupować tylko sprawia mi to trudności jeżeli nie mam w nawiasach tego samego. Z góry dziękuje.
\(\displaystyle{ x^{4}-x^{2}-2x+3>0\\
x^{4}-2x^{2}+x^{2}-2x+3>0\\
x^{2}(x^{2}-2)+x(x-2)+3>0}\)
Jak to dalej rozpisać? Wiem, że trzeba to pogrupować tylko sprawia mi to trudności jeżeli nie mam w nawiasach tego samego. Z góry dziękuje.
Ostatnio zmieniony 20 lut 2016, o 17:51 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Nie stosuj wzorów matematycznych w nazwie tematu.
Powód: Poprawa wiadomości. Nie stosuj wzorów matematycznych w nazwie tematu.
-
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
Nierówność prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej
Rozpisz \(\displaystyle{ -x^{2} = -2x^{2} +x^{2}}\) i pozwijaj do kwadratów. W razie problemów pisz.
-
- Użytkownik
- Posty: 35
- Rejestracja: 17 sie 2015, o 17:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska/lubelskie
Nierówność prawdziwa x e R
Dziękuje bakala za odpowiedź, ale jak wyżej widać już to zrobiłem i właśnie po zwinięciu nie wiem co dalej zrobić.
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
Nierówność prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej
to nie to bakala12 miał na myśli. nie szukamy rozkładu na nawiasy, ale na sumę kwadrów
-
- Użytkownik
- Posty: 35
- Rejestracja: 17 sie 2015, o 17:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska/lubelskie
Nierówność prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej
Przepraszam, ale nie widzę tego mógłbym prosić o jeszcze jakąś wskazówkę?
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Nierówność prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej
Wskazówka: \(\displaystyle{ x^{4}-2x^{2}+1+x^{2}-2x+1+1}\). Tę ostatnią jedynkę zostaw w spokoju, a poprzedzające ją składniki wykorzystaj, by zwinąć ze wzoru na kwadrat różnicy ( po trzy tak jak jest napisane).
-
- Użytkownik
- Posty: 35
- Rejestracja: 17 sie 2015, o 17:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska/lubelskie
Nierówność prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej
Wyszło mi coś takiego:
\(\displaystyle{ (x-1)^{4}+(x-1)^{2}+1>0}\)
\(\displaystyle{ (x-1)^{4}>0}\) jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ X \in R}\)
\(\displaystyle{ (x-1)^{2}>0}\) jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ X \in R}\)
więc
\(\displaystyle{ (x-1)^{4}+(x-1)^{2}+1>0}\) też jest prawdziwe dla\(\displaystyle{ X \in R}\)
co za tym idzie \(\displaystyle{ x^{4}-x^{2}-2x+3>0}\) jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ x \in R}\)
Dziękuje wszystkim za pomoc. Takie zadania sprawiają mi trudność, gdyż nie jestem na tyle spostrzegawczy żeby wszystko zauważyć.
Mam jeszcze jeden problem. Jeżeli mamy coś takiego:
jak to
\(\displaystyle{ 4x(x-1)(x+1)+2(x-1)=0}\)
przekształcić w to?
\(\displaystyle{ 2(x-1)(2x^{2}+2x+1)=0}\)
\(\displaystyle{ (x-1)^{4}+(x-1)^{2}+1>0}\)
\(\displaystyle{ (x-1)^{4}>0}\) jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ X \in R}\)
\(\displaystyle{ (x-1)^{2}>0}\) jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ X \in R}\)
więc
\(\displaystyle{ (x-1)^{4}+(x-1)^{2}+1>0}\) też jest prawdziwe dla\(\displaystyle{ X \in R}\)
co za tym idzie \(\displaystyle{ x^{4}-x^{2}-2x+3>0}\) jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ x \in R}\)
Dziękuje wszystkim za pomoc. Takie zadania sprawiają mi trudność, gdyż nie jestem na tyle spostrzegawczy żeby wszystko zauważyć.
Mam jeszcze jeden problem. Jeżeli mamy coś takiego:
jak to
\(\displaystyle{ 4x(x-1)(x+1)+2(x-1)=0}\)
przekształcić w to?
\(\displaystyle{ 2(x-1)(2x^{2}+2x+1)=0}\)
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Nierówność prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej
Chyba jakoś źle wyszło, bo \(\displaystyle{ (x-1)^{4}\neq x^{4}-2x^{2}+1}\). Spostrzegawczość spostrzegawczością, ale wzory skróconego mnożenia wypada znać. Masz je np. tutaj:
-
- Użytkownik
- Posty: 22171
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Nierówność prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej
Niestety, żadne z tych stwierdzeń nie jest prawdziwe.majkyl76 pisze: \(\displaystyle{ (x-1)^{4}>0}\) jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ X \in R}\)
\(\displaystyle{ (x-1)^{2}>0}\) jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ X \in R}\)
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6903
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Nierówność prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej
\(\displaystyle{ x^{4}-x^{2}-2x+3=\left( x^2-px+q\right)\left( x^2+px+r\right)\\
\left( x^4+px^3+rx^2-px^3-p^2x^2-prx+qx^2+pqx+qr\right)=x^{4}-x^{2}-2x+3\\
x^4+\left( q+r-p^2\right)x^2+p\left( q-r\right)x+qr=x^{4}-x^{2}-2x+3\\
\begin{cases} q+r-p^2=-1 \\ p\left( q-r\right)=-2\\qr=3 \end{cases} \\
\begin{cases} q+r=-1+p^2 \\ q-r=-\frac{2}{p}\\4qr=12 \end{cases} \\
\begin{cases} 2q=-1+p^2-\frac{2}{p} \\ 2r=-1+p^2+\frac{2}{p}\\4qr=12 \end{cases} \\
\left( p^2-1\right)^2-\frac{4}{p^2}=12\\
p^4-2p^2+1-\frac{4}{p^2}=12\\
p^4-2p^2-11-\frac{4}{p^2}=0\\
p^6-2p^4-11p^2-4=0\\
p^2=z\\
z^3-2z^2-11z-4=0\\
\left( \left( z-\frac{2}{3}\right)+\frac{2}{3} \right)^3-2\left( \left( z-\frac{2}{3}\right)+\frac{2}{3} \right)^2-11\left( \left( z-\frac{2}{3}\right)+\frac{2}{3} \right)-4=0\\
\left( z-\frac{2}{3}\right)^3+2\left( z-\frac{2}{3}\right)^2+\frac{4}{3}\left( z-\frac{2}{3}\right)+\frac{8}{27}-2\left( z-\frac{2}{3}\right)^2-\frac{8}{3}\left( z-\frac{2}{3}\right)-\frac{8}{9}-11\left( z-\frac{2}{3}\right)-\frac{22}{3}-4=0\\
\left( z-\frac{2}{3}\right)^3-\frac{37}{3}\left( z-\frac{2}{3}\right) -\frac{322}{27}=0\\
w^3-\frac{37}{3}w-\frac{322}{27}=0\\
w=u+v
u^3+v^3+3u^2v+3uv^2-3\left( u+v\right)\frac{37}{9}-\frac{322}{27}=0\\
u^3+v^3+3\left( u+v\right)uv -3\left( u+v\right)\frac{37}{9}-\frac{322}{27}=0\\
u^3+v^3-\frac{322}{27}+3\left( u+v\right)\left( uv-\frac{37}{9}\right)=0\\}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3-\frac{322}{27}=0 \\ 3\left( u+v\right)\left( uv-\frac{37}{9}\right)=0 \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=\frac{322}{27} \\ uv=\frac{37}{9} \end{cases}\\
\begin{cases} u^3+v^3=\frac{322}{27} \\ u^3v^3=\frac{50653
}{729} \end{cases}\\
t^2-\frac{322}{27}t+\frac{50653
}{729}=0\\
\left( t-\frac{161}{27}\right)^2+\frac{24732
}{729}=0\\
\left(t-\frac{161- \sqrt{24732}i }{27} \right)\left(t-\frac{161+ \sqrt{24732}i }{27} \right)=0 \\
u= \frac{ \sqrt{37} }{3}\left( \cos{\left( \frac{\arctan{\left( \frac{ \sqrt{24732} }{161} \right) }}{3} \right) }-i\sin{\left( \frac{\arctan{\left( \frac{ \sqrt{24732} }{161} \right) }}{3} \right) }\right) \\
v=\frac{ \sqrt{37} }{3}\left( \cos{\left( \frac{\arctan{\left( \frac{ \sqrt{24732} }{161} \right) }}{3} \right) }+i\sin{\left( \frac{\arctan{\left( \frac{ \sqrt{24732} }{161} \right) }}{3} \right) }\right)\\
u+v=\frac{2}{3} \sqrt{37}\cos{\left( \frac{\arctan{\left( \frac{ \sqrt{24732} }{161} \right) }}{3} \right) }\\
z=\frac{2}{3} \sqrt{37}\cos{\left( \frac{\arctan{\left( \frac{ \sqrt{24732} }{161} \right) }}{3} \right) }+\frac{2}{3}\\
p= \sqrt{z} \\
q=\frac{1}{2}\left(-1+z-\frac{2}{ \sqrt{z} } \right) \\
r=\frac{1}{2}\left(-1+z+\frac{2}{ \sqrt{z} } \right) \\}\)
\(\displaystyle{ p^2-4q<0 ?\\
p^2-4r<0 ?\\}\)
\left( x^4+px^3+rx^2-px^3-p^2x^2-prx+qx^2+pqx+qr\right)=x^{4}-x^{2}-2x+3\\
x^4+\left( q+r-p^2\right)x^2+p\left( q-r\right)x+qr=x^{4}-x^{2}-2x+3\\
\begin{cases} q+r-p^2=-1 \\ p\left( q-r\right)=-2\\qr=3 \end{cases} \\
\begin{cases} q+r=-1+p^2 \\ q-r=-\frac{2}{p}\\4qr=12 \end{cases} \\
\begin{cases} 2q=-1+p^2-\frac{2}{p} \\ 2r=-1+p^2+\frac{2}{p}\\4qr=12 \end{cases} \\
\left( p^2-1\right)^2-\frac{4}{p^2}=12\\
p^4-2p^2+1-\frac{4}{p^2}=12\\
p^4-2p^2-11-\frac{4}{p^2}=0\\
p^6-2p^4-11p^2-4=0\\
p^2=z\\
z^3-2z^2-11z-4=0\\
\left( \left( z-\frac{2}{3}\right)+\frac{2}{3} \right)^3-2\left( \left( z-\frac{2}{3}\right)+\frac{2}{3} \right)^2-11\left( \left( z-\frac{2}{3}\right)+\frac{2}{3} \right)-4=0\\
\left( z-\frac{2}{3}\right)^3+2\left( z-\frac{2}{3}\right)^2+\frac{4}{3}\left( z-\frac{2}{3}\right)+\frac{8}{27}-2\left( z-\frac{2}{3}\right)^2-\frac{8}{3}\left( z-\frac{2}{3}\right)-\frac{8}{9}-11\left( z-\frac{2}{3}\right)-\frac{22}{3}-4=0\\
\left( z-\frac{2}{3}\right)^3-\frac{37}{3}\left( z-\frac{2}{3}\right) -\frac{322}{27}=0\\
w^3-\frac{37}{3}w-\frac{322}{27}=0\\
w=u+v
u^3+v^3+3u^2v+3uv^2-3\left( u+v\right)\frac{37}{9}-\frac{322}{27}=0\\
u^3+v^3+3\left( u+v\right)uv -3\left( u+v\right)\frac{37}{9}-\frac{322}{27}=0\\
u^3+v^3-\frac{322}{27}+3\left( u+v\right)\left( uv-\frac{37}{9}\right)=0\\}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3-\frac{322}{27}=0 \\ 3\left( u+v\right)\left( uv-\frac{37}{9}\right)=0 \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=\frac{322}{27} \\ uv=\frac{37}{9} \end{cases}\\
\begin{cases} u^3+v^3=\frac{322}{27} \\ u^3v^3=\frac{50653
}{729} \end{cases}\\
t^2-\frac{322}{27}t+\frac{50653
}{729}=0\\
\left( t-\frac{161}{27}\right)^2+\frac{24732
}{729}=0\\
\left(t-\frac{161- \sqrt{24732}i }{27} \right)\left(t-\frac{161+ \sqrt{24732}i }{27} \right)=0 \\
u= \frac{ \sqrt{37} }{3}\left( \cos{\left( \frac{\arctan{\left( \frac{ \sqrt{24732} }{161} \right) }}{3} \right) }-i\sin{\left( \frac{\arctan{\left( \frac{ \sqrt{24732} }{161} \right) }}{3} \right) }\right) \\
v=\frac{ \sqrt{37} }{3}\left( \cos{\left( \frac{\arctan{\left( \frac{ \sqrt{24732} }{161} \right) }}{3} \right) }+i\sin{\left( \frac{\arctan{\left( \frac{ \sqrt{24732} }{161} \right) }}{3} \right) }\right)\\
u+v=\frac{2}{3} \sqrt{37}\cos{\left( \frac{\arctan{\left( \frac{ \sqrt{24732} }{161} \right) }}{3} \right) }\\
z=\frac{2}{3} \sqrt{37}\cos{\left( \frac{\arctan{\left( \frac{ \sqrt{24732} }{161} \right) }}{3} \right) }+\frac{2}{3}\\
p= \sqrt{z} \\
q=\frac{1}{2}\left(-1+z-\frac{2}{ \sqrt{z} } \right) \\
r=\frac{1}{2}\left(-1+z+\frac{2}{ \sqrt{z} } \right) \\}\)
\(\displaystyle{ p^2-4q<0 ?\\
p^2-4r<0 ?\\}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 821
- Rejestracja: 22 lut 2013, o 19:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 84 razy
- Pomógł: 45 razy
Nierówność prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej
Cóż, może ja zadam pytanie które przy moim stanie wiedzy moze tłumaczyć mą śmiałość.
Ale..co to w ogóle jest??????????
O ostatni post mi chodzi.-- 30 mar 2016, o 14:30 --Niestety zagadki nie umiem rozwikłać. Jasne jest jest że na początku mariuszm, jako \(\displaystyle{ p,q,r}\) oznaczył współczynniki których później szuka
Ale..co to w ogóle jest??????????
O ostatni post mi chodzi.-- 30 mar 2016, o 14:30 --Niestety zagadki nie umiem rozwikłać. Jasne jest jest że na początku mariuszm, jako \(\displaystyle{ p,q,r}\) oznaczył współczynniki których później szuka
Ukryta treść:
-
- Użytkownik
- Posty: 22171
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Nierówność prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej
Ot rachunek taki, z którego na razie nic nie wynika: to, że policzono \(\displaystyle{ p,q,r}\) nie oznacza, że każdy z tych wielomianów jest dodatni. To wymaga jeszcze długich i żmudnych rachunków.Milczek pisze:Cóż, może ja zadam pytanie które przy moim stanie wiedzy moze tłumaczyć mą śmiałość.
Ale..co to w ogóle jest??????????
O ostatni post mi chodzi.
-- 30 mar 2016, o 14:30 --
Niestety zagadki nie umiem rozwikłać. Jasne jest jest że na początku mariuszm, jako \(\displaystyle{ p,q,r}\) oznaczył współczynniki których później szuka
Ukryta treść:
Jak widzisz, nawet autor tego karkołomnego "rozwiązania" nie chciał go doliczyć do końca.
Najprostsze rozwiązanie przedstawił Premislav, tyle , że autor zadania zamiast \(\displaystyle{ (x^2-1)^2}\) napisał \(\displaystyle{ (x-1)^4}\).
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6903
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Nierówność prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej
Zostały jeszcze do policzenia dwa wyróżniki , co zaznaczyłem znakami zapytania
Obydwa wychodzą ujemne stąd wniosek ...
Po redukcji równania \(\displaystyle{ a_{4}x^4+a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}=0}\)
do równania \(\displaystyle{ z^4+b_{2}z^2+b_{1}z+b_{0}=0}\) odpowiednim podstawieniem
rozpatrujesz dwa przypadki
1.
\(\displaystyle{ b_{1}=0}\)
Masz równanie dwukwadratowe postaci
\(\displaystyle{ \left( z^2\right)^2+b_{2}\left( z^2\right) +b_{0}=0}\)
2.
\(\displaystyle{ b_{1}\neq 0}\)
Rozkładasz wielomian czwartego stopnia na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych
\(\displaystyle{ z^4+b_{2}z^2+b_{1}z+b_{0}=\left( z^2-pz+q\right)\left( z^2+pz+r\right)}\)
a dzieciaki moderujące forum rozdają tylko ostrzeżenia zamiast poprawić kod latexa albo sprawdzić dlaczego latex nie działa jak należy
Obydwa wychodzą ujemne stąd wniosek ...
To jest dość ogólny sposób rozkładania równania na iloczyn dwóch trójmianówCo to jest ?
Po redukcji równania \(\displaystyle{ a_{4}x^4+a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}=0}\)
do równania \(\displaystyle{ z^4+b_{2}z^2+b_{1}z+b_{0}=0}\) odpowiednim podstawieniem
rozpatrujesz dwa przypadki
1.
\(\displaystyle{ b_{1}=0}\)
Masz równanie dwukwadratowe postaci
\(\displaystyle{ \left( z^2\right)^2+b_{2}\left( z^2\right) +b_{0}=0}\)
2.
\(\displaystyle{ b_{1}\neq 0}\)
Rozkładasz wielomian czwartego stopnia na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych
\(\displaystyle{ z^4+b_{2}z^2+b_{1}z+b_{0}=\left( z^2-pz+q\right)\left( z^2+pz+r\right)}\)
Gdybym próbował doliczyć do końca to tex mógłby nie wyświetlić tego poprawnieJak widzisz, nawet autor tego karkołomnego "rozwiązania" nie chciał go doliczyć do końca.
a dzieciaki moderujące forum rozdają tylko ostrzeżenia zamiast poprawić kod latexa albo sprawdzić dlaczego latex nie działa jak należy
-
- Użytkownik
- Posty: 23493
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3263 razy
Nierówność prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej
A ja pochodną policzę (bo to matura rozszerzona) - wyznaczę ekstremum (dodatnie) i stwierdzę, że nierówność jest prawdziwa.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Nierówność prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej
Oczywiście ten sposób wymaga pewnego komentarza (bynajmniej nie twierdzę, że nie był Pan tego świadomy):
rozpatrzmy \(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases}x+3 \text{ gdy }x<-1\\ x^{2}+1 \text{ gdy } x \in [-1,1] \\ x+1 \text { gdy } x >1\end{cases}}\)
Wtedy też mamy jedyne ekstremum (minimum oczywiście) dodatnie i to jakoś nie powoduje, że
\(\displaystyle{ f(x)>0}\) dla każdego \(\displaystyle{ x}\). Rzecz jasna, można ten potrzebny komentarz uznać za sprawę oczywistą, jednak stawiam, że jakaś niezerowa część zdających rozszerzenie w ogóle nie pomyślałaby o tym, że to nie jest pełny dowód, tylko pewien skrót. [to nie jest jakaś próba wywyższania się, tylko obserwacja, że mimo iż uczniowie nabywają znajomość mniej czy bardziej skomplikowanych schematów, to ich poziom kultury matematycznej jest niestety niekiedy bliski zeru - i to często nie ich wina, przynajmniej nie wyłącznie; sam nie byłem lepszy]
rozpatrzmy \(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases}x+3 \text{ gdy }x<-1\\ x^{2}+1 \text{ gdy } x \in [-1,1] \\ x+1 \text { gdy } x >1\end{cases}}\)
Wtedy też mamy jedyne ekstremum (minimum oczywiście) dodatnie i to jakoś nie powoduje, że
\(\displaystyle{ f(x)>0}\) dla każdego \(\displaystyle{ x}\). Rzecz jasna, można ten potrzebny komentarz uznać za sprawę oczywistą, jednak stawiam, że jakaś niezerowa część zdających rozszerzenie w ogóle nie pomyślałaby o tym, że to nie jest pełny dowód, tylko pewien skrót. [to nie jest jakaś próba wywyższania się, tylko obserwacja, że mimo iż uczniowie nabywają znajomość mniej czy bardziej skomplikowanych schematów, to ich poziom kultury matematycznej jest niestety niekiedy bliski zeru - i to często nie ich wina, przynajmniej nie wyłącznie; sam nie byłem lepszy]