Nierówność prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
majkyl76
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 17 sie 2015, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska/lubelskie

Nierówność prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej

Post autor: majkyl76 »

Wykaż, że nierówność jest prawdziwa dla \(\displaystyle{ x \in \RR}\)

\(\displaystyle{ x^{4}-x^{2}-2x+3>0\\
x^{4}-2x^{2}+x^{2}-2x+3>0\\
x^{2}(x^{2}-2)+x(x-2)+3>0}\)


Jak to dalej rozpisać? Wiem, że trzeba to pogrupować tylko sprawia mi to trudności jeżeli nie mam w nawiasach tego samego. Z góry dziękuje.
Ostatnio zmieniony 20 lut 2016, o 17:51 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Nie stosuj wzorów matematycznych w nazwie tematu.
bakala12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 513 razy

Nierówność prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej

Post autor: bakala12 »

Rozpisz \(\displaystyle{ -x^{2} = -2x^{2} +x^{2}}\) i pozwijaj do kwadratów. W razie problemów pisz.
majkyl76
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 17 sie 2015, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska/lubelskie

Nierówność prawdziwa x e R

Post autor: majkyl76 »

Dziękuje bakala za odpowiedź, ale jak wyżej widać już to zrobiłem i właśnie po zwinięciu nie wiem co dalej zrobić.
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

Nierówność prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej

Post autor: Kartezjusz »

to nie to bakala12 miał na myśli. nie szukamy rozkładu na nawiasy, ale na sumę kwadrów
majkyl76
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 17 sie 2015, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska/lubelskie

Nierówność prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej

Post autor: majkyl76 »

Przepraszam, ale nie widzę tego mógłbym prosić o jeszcze jakąś wskazówkę?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Nierówność prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej

Post autor: Premislav »

Wskazówka: \(\displaystyle{ x^{4}-2x^{2}+1+x^{2}-2x+1+1}\). Tę ostatnią jedynkę zostaw w spokoju, a poprzedzające ją składniki wykorzystaj, by zwinąć ze wzoru na kwadrat różnicy ( po trzy tak jak jest napisane).
majkyl76
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 17 sie 2015, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska/lubelskie

Nierówność prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej

Post autor: majkyl76 »

Wyszło mi coś takiego:

\(\displaystyle{ (x-1)^{4}+(x-1)^{2}+1>0}\)

\(\displaystyle{ (x-1)^{4}>0}\) jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ X \in R}\)

\(\displaystyle{ (x-1)^{2}>0}\) jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ X \in R}\)

więc

\(\displaystyle{ (x-1)^{4}+(x-1)^{2}+1>0}\) też jest prawdziwe dla\(\displaystyle{ X \in R}\)

co za tym idzie \(\displaystyle{ x^{4}-x^{2}-2x+3>0}\) jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ x \in R}\)

Dziękuje wszystkim za pomoc. Takie zadania sprawiają mi trudność, gdyż nie jestem na tyle spostrzegawczy żeby wszystko zauważyć.

Mam jeszcze jeden problem. Jeżeli mamy coś takiego:

jak to

\(\displaystyle{ 4x(x-1)(x+1)+2(x-1)=0}\)

przekształcić w to?

\(\displaystyle{ 2(x-1)(2x^{2}+2x+1)=0}\)
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Nierówność prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej

Post autor: Premislav »

Chyba jakoś źle wyszło, bo \(\displaystyle{ (x-1)^{4}\neq x^{4}-2x^{2}+1}\). Spostrzegawczość spostrzegawczością, ale wzory skróconego mnożenia wypada znać. Masz je np. tutaj:
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Nierówność prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej

Post autor: a4karo »

majkyl76 pisze: \(\displaystyle{ (x-1)^{4}>0}\) jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ X \in R}\)

\(\displaystyle{ (x-1)^{2}>0}\) jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ X \in R}\)
Niestety, żadne z tych stwierdzeń nie jest prawdziwe.
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Nierówność prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej

Post autor: Mariusz M »

\(\displaystyle{ x^{4}-x^{2}-2x+3=\left( x^2-px+q\right)\left( x^2+px+r\right)\\
\left( x^4+px^3+rx^2-px^3-p^2x^2-prx+qx^2+pqx+qr\right)=x^{4}-x^{2}-2x+3\\
x^4+\left( q+r-p^2\right)x^2+p\left( q-r\right)x+qr=x^{4}-x^{2}-2x+3\\
\begin{cases} q+r-p^2=-1 \\ p\left( q-r\right)=-2\\qr=3 \end{cases} \\
\begin{cases} q+r=-1+p^2 \\ q-r=-\frac{2}{p}\\4qr=12 \end{cases} \\
\begin{cases} 2q=-1+p^2-\frac{2}{p} \\ 2r=-1+p^2+\frac{2}{p}\\4qr=12 \end{cases} \\
\left( p^2-1\right)^2-\frac{4}{p^2}=12\\
p^4-2p^2+1-\frac{4}{p^2}=12\\
p^4-2p^2-11-\frac{4}{p^2}=0\\
p^6-2p^4-11p^2-4=0\\
p^2=z\\
z^3-2z^2-11z-4=0\\
\left( \left( z-\frac{2}{3}\right)+\frac{2}{3} \right)^3-2\left( \left( z-\frac{2}{3}\right)+\frac{2}{3} \right)^2-11\left( \left( z-\frac{2}{3}\right)+\frac{2}{3} \right)-4=0\\
\left( z-\frac{2}{3}\right)^3+2\left( z-\frac{2}{3}\right)^2+\frac{4}{3}\left( z-\frac{2}{3}\right)+\frac{8}{27}-2\left( z-\frac{2}{3}\right)^2-\frac{8}{3}\left( z-\frac{2}{3}\right)-\frac{8}{9}-11\left( z-\frac{2}{3}\right)-\frac{22}{3}-4=0\\
\left( z-\frac{2}{3}\right)^3-\frac{37}{3}\left( z-\frac{2}{3}\right) -\frac{322}{27}=0\\
w^3-\frac{37}{3}w-\frac{322}{27}=0\\
w=u+v
u^3+v^3+3u^2v+3uv^2-3\left( u+v\right)\frac{37}{9}-\frac{322}{27}=0\\
u^3+v^3+3\left( u+v\right)uv -3\left( u+v\right)\frac{37}{9}-\frac{322}{27}=0\\
u^3+v^3-\frac{322}{27}+3\left( u+v\right)\left( uv-\frac{37}{9}\right)=0\\}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3-\frac{322}{27}=0 \\ 3\left( u+v\right)\left( uv-\frac{37}{9}\right)=0 \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=\frac{322}{27} \\ uv=\frac{37}{9} \end{cases}\\
\begin{cases} u^3+v^3=\frac{322}{27} \\ u^3v^3=\frac{50653
}{729} \end{cases}\\
t^2-\frac{322}{27}t+\frac{50653
}{729}=0\\
\left( t-\frac{161}{27}\right)^2+\frac{24732
}{729}=0\\
\left(t-\frac{161- \sqrt{24732}i }{27} \right)\left(t-\frac{161+ \sqrt{24732}i }{27} \right)=0 \\
u= \frac{ \sqrt{37} }{3}\left( \cos{\left( \frac{\arctan{\left( \frac{ \sqrt{24732} }{161} \right) }}{3} \right) }-i\sin{\left( \frac{\arctan{\left( \frac{ \sqrt{24732} }{161} \right) }}{3} \right) }\right) \\
v=\frac{ \sqrt{37} }{3}\left( \cos{\left( \frac{\arctan{\left( \frac{ \sqrt{24732} }{161} \right) }}{3} \right) }+i\sin{\left( \frac{\arctan{\left( \frac{ \sqrt{24732} }{161} \right) }}{3} \right) }\right)\\
u+v=\frac{2}{3} \sqrt{37}\cos{\left( \frac{\arctan{\left( \frac{ \sqrt{24732} }{161} \right) }}{3} \right) }\\
z=\frac{2}{3} \sqrt{37}\cos{\left( \frac{\arctan{\left( \frac{ \sqrt{24732} }{161} \right) }}{3} \right) }+\frac{2}{3}\\
p= \sqrt{z} \\
q=\frac{1}{2}\left(-1+z-\frac{2}{ \sqrt{z} } \right) \\
r=\frac{1}{2}\left(-1+z+\frac{2}{ \sqrt{z} } \right) \\}\)

\(\displaystyle{ p^2-4q<0 ?\\
p^2-4r<0 ?\\}\)
Milczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 821
Rejestracja: 22 lut 2013, o 19:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 84 razy
Pomógł: 45 razy

Nierówność prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej

Post autor: Milczek »

Cóż, może ja zadam pytanie które przy moim stanie wiedzy moze tłumaczyć mą śmiałość.
Ale..co to w ogóle jest??????????
O ostatni post mi chodzi.-- 30 mar 2016, o 14:30 --Niestety zagadki nie umiem rozwikłać. Jasne jest jest że na początku mariuszm, jako \(\displaystyle{ p,q,r}\) oznaczył współczynniki których później szuka
Ukryta treść:    
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Nierówność prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej

Post autor: a4karo »

Milczek pisze:Cóż, może ja zadam pytanie które przy moim stanie wiedzy moze tłumaczyć mą śmiałość.
Ale..co to w ogóle jest??????????
O ostatni post mi chodzi.

-- 30 mar 2016, o 14:30 --

Niestety zagadki nie umiem rozwikłać. Jasne jest jest że na początku mariuszm, jako \(\displaystyle{ p,q,r}\) oznaczył współczynniki których później szuka
Ukryta treść:    
Ot rachunek taki, z którego na razie nic nie wynika: to, że policzono \(\displaystyle{ p,q,r}\) nie oznacza, że każdy z tych wielomianów jest dodatni. To wymaga jeszcze długich i żmudnych rachunków.
Jak widzisz, nawet autor tego karkołomnego "rozwiązania" nie chciał go doliczyć do końca.


Najprostsze rozwiązanie przedstawił Premislav, tyle , że autor zadania zamiast \(\displaystyle{ (x^2-1)^2}\) napisał \(\displaystyle{ (x-1)^4}\).
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Nierówność prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej

Post autor: Mariusz M »

Zostały jeszcze do policzenia dwa wyróżniki , co zaznaczyłem znakami zapytania
Obydwa wychodzą ujemne stąd wniosek ...
Co to jest ?
To jest dość ogólny sposób rozkładania równania na iloczyn dwóch trójmianów

Po redukcji równania \(\displaystyle{ a_{4}x^4+a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}=0}\)
do równania \(\displaystyle{ z^4+b_{2}z^2+b_{1}z+b_{0}=0}\) odpowiednim podstawieniem

rozpatrujesz dwa przypadki

1.

\(\displaystyle{ b_{1}=0}\)

Masz równanie dwukwadratowe postaci

\(\displaystyle{ \left( z^2\right)^2+b_{2}\left( z^2\right) +b_{0}=0}\)

2.

\(\displaystyle{ b_{1}\neq 0}\)

Rozkładasz wielomian czwartego stopnia na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych

\(\displaystyle{ z^4+b_{2}z^2+b_{1}z+b_{0}=\left( z^2-pz+q\right)\left( z^2+pz+r\right)}\)
Jak widzisz, nawet autor tego karkołomnego "rozwiązania" nie chciał go doliczyć do końca.
Gdybym próbował doliczyć do końca to tex mógłby nie wyświetlić tego poprawnie
a dzieciaki moderujące forum rozdają tylko ostrzeżenia zamiast poprawić kod latexa albo sprawdzić dlaczego latex nie działa jak należy
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Nierówność prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej

Post autor: piasek101 »

A ja pochodną policzę (bo to matura rozszerzona) - wyznaczę ekstremum (dodatnie) i stwierdzę, że nierówność jest prawdziwa.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Nierówność prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej

Post autor: Premislav »

Oczywiście ten sposób wymaga pewnego komentarza (bynajmniej nie twierdzę, że nie był Pan tego świadomy):
rozpatrzmy \(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases}x+3 \text{ gdy }x<-1\\ x^{2}+1 \text{ gdy } x \in [-1,1] \\ x+1 \text { gdy } x >1\end{cases}}\)
Wtedy też mamy jedyne ekstremum (minimum oczywiście) dodatnie i to jakoś nie powoduje, że
\(\displaystyle{ f(x)>0}\) dla każdego \(\displaystyle{ x}\). Rzecz jasna, można ten potrzebny komentarz uznać za sprawę oczywistą, jednak stawiam, że jakaś niezerowa część zdających rozszerzenie w ogóle nie pomyślałaby o tym, że to nie jest pełny dowód, tylko pewien skrót. [to nie jest jakaś próba wywyższania się, tylko obserwacja, że mimo iż uczniowie nabywają znajomość mniej czy bardziej skomplikowanych schematów, to ich poziom kultury matematycznej jest niestety niekiedy bliski zeru - i to często nie ich wina, przynajmniej nie wyłącznie; sam nie byłem lepszy]
ODPOWIEDZ