Pierwiastki czwartego stopnia

[contritio]

Chciałabym prosić o pomoc w obliczeniu. Nie potrafię sonie z tym poradzić. Zadanie poprawione, wkradł się błąd.

\(\displaystyle{ x ^4{} +2x ^{3} -4x ^{2} -10x+27=0}\)

[Dilectus]

Ten wielomian nie ma pierwiastków rzeczywistych. Mamy

\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x\in R} x ^4{} +2x ^{3} -4x ^{2} -10x+27>0}\)

Sprawdź to (wiesz - pochodna, ekstrema itd.)

[Kartezjusz]

Na jakim etapie jesteś, by wiedzieć, co możesz zastosować. Umiesz pochodne?

[contritio]

Na jakim etapie jesteś, by wiedzieć, co możesz zastosować. Umiesz pochodne?

Studia zajecia z matematyki

[Kartezjusz]

Czyli pochodna jest akceptowalna.

[bosa_Nike]

\(\displaystyle{ x ^4 +2x ^3 -4x ^2 -10x+27=\left(x^2+x-3\right)^2+(x-2)^2+14}\)

[piasek101]

Przecież mogłaś dalej tu 403331.htm pytać.

Ps. Widzę najładniejsze tutaj.

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ x ^4{} +2x ^{3} -4x ^{2} -10x+27=0}\)

\(\displaystyle{ \begin{tabular} {c|c|c|c|c|c} &1&2&-4&-10&27 \\ \hline -1/2&1&3/2&-19/4&-61/8&493/16\\\hline
-1/2&1&1&-21/4& -5& \\\hline -1/2&1&1/2&-11/2&&\\\hline -1/2&1&0&&&\\\hline-1/2&1&&&&\end{tabular}}\)

\(\displaystyle{ x ^4{} +2x ^{3} -4x ^{2} -10x+27= \frac{493}{16}-5\left( x+ \frac{1}{2} \right)-\frac{11}{2}\left( x+\frac{1}{2}\right)^2+\left( x+\frac{1}{2}\right)^4}\)

\(\displaystyle{ y^4-\frac{11}{2}y^2-5y+\frac{493}{16}=0\\
\left( y^2-py+q\right)\left(y^2+py+r \right)=y^4-\frac{11}{2}y^2-5y+\frac{493}{16}\\
\left( y^4+py^3+ry^2-py^3-p^2y^2-pry+qy^2+pqy+qr\right)=y^4-\frac{11}{2}y^2-5y+\frac{493}{16}\\
\left( y^4+\left( q+r-p^2\right)y^2+\left( pq-pr\right)y+qr \right)= y^4-\frac{11}{2}y^2-5y+\frac{493}{16}\\}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} q+r-p^2=-\frac{11}{2} \\ p\left( q-r\right)=-5\\qr=\frac{493}{16} \end{cases} \\
\begin{cases} q+r=\left( p^2-\frac{11}{2}\right) \\ q-r=-\frac{5}{p}\\4qr=\frac{493}{4} \end{cases} \\
\begin{cases} 2q=\left( p^2-\frac{11}{2}-\frac{5}{p}\right) \\ 2r=\left( p^2-\frac{11}{2}+\frac{5}{p}\right)\\ 4qr=\frac{493}{4}\end{cases} \\
\left( p^2-\frac{11}{2}-\frac{5}{p}\right)\left( p^2-\frac{11}{2}+\frac{5}{p}\right)=\frac{493}{4}\\
\left(p^2-\frac{11}{2} \right)^2-\frac{25}{p^2}=\frac{493}{4}\\
p^4-11p^2+\frac{121}{4}-\frac{25}{p^2}-\frac{493}{4}=0\\
p^4-11p^2-93-\frac{25}{p^2}=0\\
p^6-11p^4-93p^2-25=0\\
z=p^2\\
z^3-11z^2-93z-25=0\\}\)

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{c|c|c|c|c} &1&-11&-93&-25 \\ \hline 11/3&1&-22/3&-1079/9&-12544/27 \\ \hline 11/3&1&-11/3&-400/3&\\\hline 11/3&1&0&&\\ \hline 11/3&1&&&&\end{tabular}}\)


\(\displaystyle{ z^3-11z^2-93z-25=-\frac{12544}{27}-\frac{400}{3}\left( z-\frac{11}{3}\right)+\left( z-\frac{11}{3}\right)^3 \\
w^3-\frac{400}{3}w-\frac{12544}{27}=0\\
w=u+v\\
\left( u+v\right)^3-\frac{400}{3}\left( u+v\right)-\frac{12544}{27}=0\\
u^3+3u^2v+3uv^2+v^3-\frac{400}{3}\left( u+v\right)-\frac{12544}{27}=0\\
u^3+v^3-\frac{12544}{27}+3uv\left( u+v\right)-\frac{400}{3}\left( u+v\right)=0\\
u^3+v^3-\frac{12544}{27}+3\left( u+v\right)\left( uv-\frac{400}{9}\right)\\
\begin{cases} u^3+v^3=\frac{12544}{27} \\ uv=\frac{400}{9} \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=\frac{12544}{27} \\ u^3v^3=\frac{64000000}{729} \end{cases} \\
t^2-\frac{12544}{27}t+\frac{64000000}{729}=0\\
\left( t-\frac{6272}{27}\right)^2+\frac{24662016}{729}=0\\
\left( t-\frac{6272- \sqrt{24662016} \cdot i }{27}\right)\left( t-\frac{6272+ \sqrt{24662016} \cdot i }{27}\right)=0\\}\)

\(\displaystyle{ z_{1}=\frac{1}{3}\left( \sqrt[3]{6272- \sqrt{24662016} \cdot i} + \sqrt[3]{6272+ \sqrt{24662016} \cdot i}+11 \right)}\)

Teraz trzeba skorzystać ze wzoru Moivre aby obliczyć pierwiastki
Po skorzystaniu ze wzoru Moivre pierwiastki łączymy w pary
Liczba dwuelementowych wariacji z powtórzeniami zbioru trzyelementowego daje nam
dziewięć możliwości z czego tylko trzy dają poprawny wynik
Aby sprawdzić pary należy wstawić je do układu równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3=\frac{12544}{27} \\ uv=\frac{400}{9} \end{cases}}\)
Z trzech pierwiastków równania wybieramy dodatni jeśli istnieje
(nie będziemy mieć wtedy zespolonych współczynników przy trójmianach kwadratowych)

\(\displaystyle{ z_{1}=\frac{1}{3}\left( 40\cos{\left( \frac{\arctan{\left( \frac{ \sqrt{24662016} }{6272} \right) }}{3} \right) }+11\right) \\
\left( y^2- \sqrt{z_{1}}y+\frac{1}{2}\left(z_{1}-\frac{11}{2}-\frac{5}{ \sqrt{z_{1}} } \right) \right)\left( y^2+\sqrt{z_{1}}y+\frac{1}{2}\left(z_{1}-\frac{11}{2}+\frac{5}{ \sqrt{z_{1}} } \right)\right)=0\\
\Delta_{1}=z_{1}-2\left(z_{1}-\frac{11}{2}-\frac{5}{ \sqrt{z_{1}} } \right)\\
\Delta_{2}=z_{1}-2\left(z_{1}-\frac{11}{2}+\frac{5}{ \sqrt{z_{1}} } \right)\\

y_{1}=\frac{ \sqrt{z_{1}}- \sqrt{\Delta_{1}} }{2}\\
y_{2}=\frac{ \sqrt{z_{1}}+ \sqrt{\Delta_{1}} }{2}\\
y_{3}=\frac{- \sqrt{z_{1}}- \sqrt{\Delta_{2}} }{2}\\
y_{4}=\frac{- \sqrt{z_{1}}+ \sqrt{\Delta_{2}} }{2}\\}\)