Udowodnij, że

revage · Post autor: **revage** » 13 lut 2016, o 16:29

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność:
\(\displaystyle{ x^{4}- x^{2}-2x+3>0}\)

Ja chciałam to zrobić tak że to wyrażenie to jakaś funkcja i szukam dla niej jej dzielnika że schematu Hornera spośród jej całkowitych dzienników wyrazu wolnego 3 czyli z tych \(\displaystyle{ p=1,-1,3,-3}\)
ALE jak obliczyłam \(\displaystyle{ f(1),f(-1)}\) itd to wyszło mi że nie wychodzi nigdzie 0, wiec szukałam dzielników wymiernych \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) p=1 współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{4}}\) i wtedy też liczyła \(\displaystyle{ f( \frac{p}{q})}\) i nigdzie nie wyszło 0.

W kluczu jest liczona pochodna z tej funkcji, dlaczego ?

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 13 lut 2016, o 16:30

Wielomian jest, ale gdzie nieróność?

Premislav · Post autor: **Premislav** » 13 lut 2016, o 16:38

Gdzie tu masz nierówność? Jeśli miało być
\(\displaystyle{ x^{4}- x^{2}-2x+3>0}\), to po prostu możesz bądź to przeliczyć pochodną, bądź np.
zauważyć, że \(\displaystyle{ x^{4}- x^{2}-2x+3=x^{4}-2x^{2}+1+x^{2}-2x+1+1}\) i zaprząc do roboty wzory skróconego mnożenia.
Chyba nikt normalny nie pamięta schematu Hornera. Profesor Newelski tak bardzo nie pamiętał, że nawet nazwę wymawiał jak z umlautem.

revage · Post autor: **revage** » 14 lut 2016, o 09:12

Wiec gdy nie można znaleźć pierwiastków tej funkcji takimi sposobami które opisałam (bo chyba są dobre ?) to wtedy zawsze liczyć pochodną?

AndrzejK · Post autor: **AndrzejK** » 14 lut 2016, o 10:36

Ale dlaczego chcesz szukać pierwiastków? Gdyby były pierwiatki, to wtedy nierówność nie byłaby spełniona dla wszystkich liczb rzeczywistych.

Milczek · Post autor: **Milczek** » 14 lut 2016, o 11:49

Korzystając z pochodnej musisz wykazać ze nie ma pierwiastków ten wielomian bo pochodna jest pewnie zawsze dodatnia(nie liczyłem, obstawiam). Poza tym jak wykażesz tymi metodami ze wielomian nie ma pierwiastków niewymiernych...?

Dilectus · Post autor: **Dilectus** » 14 lut 2016, o 13:24

Milczek pisze:[...] pochodna jest pewnie zawsze dodatnia(nie liczyłem, obstawiam).

I tu się mylisz, bo pochodna jest wielomianem trzeciego stopnia, a więc ma co najmniej jeden pierwiastek, czyli musi być gdzieś ujemna. -- 14 lut 2016, o 13:31 --Rzeczywiście, pochodna ma tylko jeden pierwiastek, a więc Twój wielomian ma jedno ekstremum. Znajdź je i pokombinuj - jeśli to jest minimum, to sprawdź, jakiego jest znaku.; jeśli jest dodatnie, to znaczy, że wyjściowa nierówność jest spełniona dla wszystkich liczb rzeczywistych.

Premislav · Post autor: **Premislav** » 14 lut 2016, o 13:39

Dilectus pisze:Rzeczywiście, pochodna ma tylko jeden pierwiastek, a więc Twój wielomian ma jedno ekstremum.

Co najwyżej jedno. Np. funkcja \(\displaystyle{ f(x)=x^{3}}\) nie ma ekstremów, a jej pochodna zeruje się dla \(\displaystyle{ x=0}\). Ale akurat tutaj wychodzi, że jest tam (tj. dla \(\displaystyle{ x=1}\)) przyjmowane minimum lokalne, a można łatwo pokazać, że i globalne.

Dilectus · Post autor: **Dilectus** » 14 lut 2016, o 16:33

Masz rację, Premislav, co najwyżej jedno ekstremum. Z pośpiechu ominąłem to "co najwyżej". Dziękuję za czujność.

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 14 lut 2016, o 19:12

Może dorzucę swoje trzy grosze ale pochodna tej funkcji zeruje się dla\(\displaystyle{ x=1}\)

A po drugie funkcja ma cztery pierwiastki zespolone.

Premislav · Post autor: **Premislav** » 14 lut 2016, o 20:00

No super, ja proponuję, żebyś jeszcze rozpatrzył zera tej funkcji w \(\displaystyle{ \ZZ_{5}}\).
Autorka wątku napisała:

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 16 lut 2016, o 14:30

Ale czemu trzeba rozpatrywać zera w ciele \(\displaystyle{ Z_{5}}\)