Pierwiastki wielomianu tworzą ciąg

[Janpostal]

Trzy pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ w(x)= x^{3} + px + q}\) tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej \(\displaystyle{ 4}\). Oblicz współczynniki \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\)

Czy można rozwiązać to zadanie w krótszy, szybszy sposób, niż zapisania go w postaci iloczynowej, to jest:
\(\displaystyle{ w(x)= b(x-a)(x-a-4)(x-a+4)}\)

A \(\displaystyle{ b}\) jest równe \(\displaystyle{ 1}\) bo współczynnik przy najwyższej potędze jest równy właśnie tyle.

Widać że współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{2}}\) jest równy zero, ale czy to coś nam daje?

[Kartezjusz]

co powiesz o \(\displaystyle{ b}\)

[Janpostal]

Jest to współczynnik kierunkowy tak to rozumiem bo jest \(\displaystyle{ 1 x^{3}}\) czyli 1

[Kartezjusz]

Tak. Teraz wymnóż dwa ostatnie czynniki wzorem na różnicę kwadratów.

[Janpostal]

Wiem, jak rozwiązać tym sposobem którym podałem, ale się zastanawiam czy da się rozwiązać to w inny sposób niż za pomocą tego własnie sposobu

[Kartezjusz]

Wzory Viete'a dla sześcianów.

[Janpostal]

Dzięki, z wzorów Viete'a idzie błyskawicznie, szkoda tylko że na maturze nie ma ich w kartach, więc na maturze mogę je zastosować, czy najpierw musiałbym przeprowadzić ich dowód?

[Kartezjusz]

Musiałbyś wyprowadzić je, ale to stosunkowo szybkie. Wymnożyć trzy nawiasy.

[Janpostal]

Tak, to się przecież odnosi do wymnożenia 3 nawiasów jak w propozycji mojego rozwiązania, więc na to samo wychodzi. Plusem by było gdybym nie musiał ich udowadniać, bo wtedy to zadanie rozwiązuje się w pamięci.

[Kartezjusz]

Niestety to boli.