Przedstaw wielomian w postaci iloczynu dwóch wielomianów.

pawlo392 · Post autor: **pawlo392** » 6 lut 2016, o 15:21

Mam takie oto zadanie: Przedstaw wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^4-2x^3-3x^2+4x-1}\) w postaci iloczynu dwóch wielomianów stopnia drugiego o współczynnikach całkowitych i takich, że współczynniki przy drugich potęgach są równe jeden.

Wiem jak zrobić to zadanie przekształcając ten wielomian, lecz próbuje rozwiązać drugim sposobem.
Zapisałem dwa wielomiany : \(\displaystyle{ P(x)*Q(x)=(x^2+bx+c)(x^2+dx+e)}\)
Porównując współczynniki przy potęgach otrzymałem układ równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} d+b=-2\\e+bd+c=-3\\eb+cd=4\\ce=-1 \end{array}}\)

Niby nie wygląda on jakoś skomplikowanie, ale i tak nie otrzymuje poprawnych wyników.

Premislav · Post autor: **Premislav** » 6 lut 2016, o 15:27

To pokaż swoje obliczenia, bo sam układ jest OK.

pawlo392 · Post autor: **pawlo392** » 6 lut 2016, o 15:37

Wyznaczyłem sobie taki układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{-b}{c}-2c-cb=4 \\ \frac{-1+c^2}{c}-2b-b^2=-3 \end{cases}}\)

Premislav · Post autor: **Premislav** » 6 lut 2016, o 15:43

Nie pokazałeś obliczeń, tylko jakiś tam podukład, nie wiem czy dobry, więc też będę leniwy: z ostatniego równania z poprzedniego posta masz \(\displaystyle{ c=1\wedge e=-1}\) albo na odwrót, bo rozwiązania mają być całkowite.

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 6 lut 2016, o 15:50

pawlo392, pomysł dobry ale obliczeń trochę będzie

Lepszym pomysłem byłoby zapisanie wielomianu najpierw w postaci różnicy kwadratów
Powinno być wtedy mniej obliczeń ale z treści pierwszej wiadomości wnioskuję że już to zrobiłeś

pawlo392 · Post autor: **pawlo392** » 6 lut 2016, o 15:53

Wychodziły takie "brzydkie" równania, że nie chciałem tego pisać. Ale wykorzystałem twoją podpowiedź i rozwiązałem układ w dwóch przypadkach. Dzięki.

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 6 lut 2016, o 16:03

\(\displaystyle{ W\left( x\right) =x^4-2x^3-3x^2+4x-1\\
W\left( x\right) =\left( x^4-2x^3+x^2\right)-\left( 4x^2-4x+1\right)\\
W\left( x\right)=\left( x^2-x\right)^2-\left( 2x-1\right)^2\\
W\left( x\right)=\left( x^2-3x+1\right)\left( x^2+x-1\right)}\)

Gdybyś dalej rozwiązywał ten układ tak jak w równaniu ogólnym
to byś dostał równanie szóstego stopnia które podstawieniami musiałbyś sprowadzić
do równania trzeciego stopnia
Równanie trzeciego stopnia musiałbyś rozwiązać albo sprowadzając je albo do równania kwadratowego
albo trygonometrią

pawlo392, zarówno pomysł który ty zaproponowałeś
jak i ten o którym ja wspomniałem są dość ogólne jeśli chodzi o równanie czwartego stopnia
jednak tylko w pewnych szczególnych przypadkach da się ominąć konieczność rozwiązania
równania trzeciego stopnia