Brak pierwiastków wielomianu

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
poetaopole
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 389
Rejestracja: 21 maja 2013, o 09:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Opole
Podziękował: 214 razy

Brak pierwiastków wielomianu

Post autor: poetaopole »

Wykaż, że wielomian \(\displaystyle{ W(x)= 3x^{10}-5 x^{6}+3}\) nie ma pierwiastków rzeczywistych.
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Brak pierwiastków wielomianu

Post autor: bosa_Nike »

Jeżeli \(\displaystyle{ t}\) jest pierwiastkiem, to \(\displaystyle{ -t}\) też, wystarczy więc ograniczyć się do nieujemnych, a tam \(\displaystyle{ 3x^{10}+2\ge 5x^6}\) z AM-GM. To samo uzyskuje się przez podstawienie \(\displaystyle{ x^2=t\ge 0}\).
Ostatnio zmieniony 5 lut 2016, o 12:23 przez bosa_Nike, łącznie zmieniany 2 razy.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Brak pierwiastków wielomianu

Post autor: kerajs »

\(\displaystyle{ W(x)= 3x^{10}-5 x^{6}+3}\)
\(\displaystyle{ W ^{'} (x)= 30x^{9}-30 x^{5}=30x^5(x^4-1)=30x^5(x^2+1)(x-1)(x+1)}\)

\(\displaystyle{ W _{max}=W(0)=3}\)
\(\displaystyle{ W _{min}=W(-1)=W(1)=1}\)
Ostatnio zmieniony 5 lut 2016, o 08:12 przez kerajs, łącznie zmieniany 1 raz.
poetaopole
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 389
Rejestracja: 21 maja 2013, o 09:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Opole
Podziękował: 214 razy

Brak pierwiastków wielomianu

Post autor: poetaopole »

Dziękuję Starałem się rozwiązać problem tradycyjnie (z użyciem wzorów skróconego mnożenia), ale ciężko... A może komuś się uda?
Milczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 821
Rejestracja: 22 lut 2013, o 19:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 84 razy
Pomógł: 45 razy

Brak pierwiastków wielomianu

Post autor: Milczek »

bosa_Nike pisze:Jeżeli \(\displaystyle{ t}\) jest pierwiastkiem, to \(\displaystyle{ -t}\) też, wystarczy więc ograniczyć się do niujemnych, a tam \(\displaystyle{ 3x^{10}+2\ge 5x^6}\) z AM-GM. To samo uzyskuje się przez podstawienie \(\displaystyle{ x^2=t\ge 0}\).
A skąd się wzięła ta nierówność, nie umiem tego z am-gm wyprowadzić.

-- 5 lut 2016, o 11:44 --

Aa ok \(\displaystyle{ x^{10} + x^{10} + x^{10} + 1 + 1 \ge 5 \sqrt[5]{x^{10} \cdot x^ {10} \cdot x^{10}}=5x^6}\)
Nie było pytania.

-- 5 lut 2016, o 11:59 --

A tak ponownie zapytam odnośnie nierówności skoro zadanie jest rozwiązane.

W nierówności AM-GM jak to jest , im większą liczbę składników(\(\displaystyle{ n}\) weźmie się to tym mocniejsze ograniczenie z dołu się dostaje czy to raczej jest bez znaczenia?(chociaż na pewno jakieś jest znaczenie co widać na tym przykładzie).
Mam na myśli to że można jej użyć jak powyżej dla pięciu składników, albo jak np.
\(\displaystyle{ 3x^{10}+2 \ge 2\sqrt{6x^{10}}=2 \sqrt{6} x^{5}}\)
Tutaj dla dwóch, mógłby ktoś rozwiać moje wątpliwości?
Ostatnio zmieniony 5 lut 2016, o 12:47 przez Zahion, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Brak pierwiastków wielomianu

Post autor: Premislav »

To masz tutaj wzory skróconego mnożenia:
\(\displaystyle{ W(x)= 3x^{10}-5 x^{6}+3=\\=3(x^{5}-x)^{2}+x^{6}-3x^{2}+3=3(x^{5}-x)^{2}+(x^{3}-x)^{2}+2x^{4}-4x^{2}+3=\\=3(x^{5}-x)^{2}+(x^{3}-x)^{2}+2(x^{2}-1)^{2}+1}\)
Ale IMHO średnie rządzą.
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Brak pierwiastków wielomianu

Post autor: bosa_Nike »

poetaopole pisze:Dziękuję Starałem się rozwiązać problem tradycyjnie (z użyciem wzorów skróconego mnożenia), ale ciężko... A może komuś się uda?
Tobie.
Jak już wiesz, co ma wyjść, to rozbij sobie na sumę nieujemnych składników (to się niby później okaże, tzn. stawiasz hipotezę i dowodzisz jej prawdziwości).

\(\displaystyle{ 3x^{10}-5x^6+2+1=\left(3x^{10}-3\right)-\left(5x^6-5\right)+1}\)

Wyłączasz tyle, ile się da. Jedynkę zostawiasz w spokoju.

EDIT: O, Premislav zrobił mniej bałaganu.

@Milczek - No ale musiałbyś dostać mocniejsze ograniczenie w przedziale, który rozpatrujesz, tzn. w tym przypadku \(\displaystyle{ 2\sqrt{6}x^5\ge 5x^6}\) w całym \(\displaystyle{ \RR_+}\)...
Janpostal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 144
Rejestracja: 7 gru 2015, o 17:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 16 razy

Brak pierwiastków wielomianu

Post autor: Janpostal »

Tak jeszcze podpowiem, bo sam się spotkałem z tym rozwiązaniem i z kluczem, to wymagają przy tym liczenia granic funkcji w nieskończonościach, aby udowodnić że minima lokalne są właśnie najmniejszymi wartościami, bo inaczej przecież mógłby mieć
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Brak pierwiastków wielomianu

Post autor: bosa_Nike »

Hmm, przy wielomianach parzystego stopnia z dodatnim współczynnikiem wiodącym... Ciekawe, czy taka uwaga by wystarczyła?

EDIT: Literówki; czas wysypać okruszki z klawiatury.
Janpostal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 144
Rejestracja: 7 gru 2015, o 17:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 16 razy

Brak pierwiastków wielomianu

Post autor: Janpostal »

bosa_Nike, Chodziło mi, że oprócz policzenia minimum funkcji, w kluczu zakładali że taka informacja musi się pojawić.
ODPOWIEDZ