wielomian dwóch zmiennych

[pasjonatka]

Witam! Mam taki mały problem z zadaniem, które brzmi następująco:
Wyznacz wszystkie wielomiany które spełniają poniższe warunki:
\(\displaystyle{ W(0)=2}\)
\(\displaystyle{ W(x+y)=W(x)+W(y)+2xy-2}\)

I doszłam do tego, że warunki spełniają takie wielomiany jak:
\(\displaystyle{ W(x)=x ^{2}+ax+2}\)
\(\displaystyle{ W(y)=y ^{2}+ax+2}\)
\(\displaystyle{ W(x+y)=(x+y) ^{2} + a(x+y)+2}\);
\(\displaystyle{ a \in R}\)

Moje pytanie brzmi następująco:
Czy ktoś może mi powiedzieć, czy dobrze jest to rozwiązane i czy są to wszystkie możliwe rozwiązania? I czy poprawnym jest że od razu zakładam, że wielomiany \(\displaystyle{ W(x)}\) i \(\displaystyle{ W(y)}\) będą drugiego stopnia?

[AndrzejK]

Czy ktoś może mi powiedzieć, czy dobrze jest to rozwiązane i czy są to wszystkie możliwe rozwiązania? I czy poprawnym jest że od razu zakładam, że wielomiany \(\displaystyle{ W(x)}\) i \(\displaystyle{ W(y)}\) będą drugiego stopnia?

Nie jest to dobre rozwiązanie i takie zakładanie nie jest poprawne.

Spróbuj podstawić \(\displaystyle{ V(x)=W(x)-x^2-2}\). Jak wtedy wyglądają zadane warunki?

[pasjonatka]

Ale podstawić za co?

[AndrzejK]

No z tego co napisałem masz \(\displaystyle{ W(x)=V(x)+x^2+2}\). Podstaw więc za \(\displaystyle{ W(x), W(y), W(x+y)}\) odpowiednie równości z \(\displaystyle{ V}\).

[pasjonatka]

No to mam :
\(\displaystyle{ W(x+y)=V(x)+W(y)-x ^{2}+2xy}\)

[AndrzejK]

Źle podstawiłaś, \(\displaystyle{ W(x)=V(x)+x^2+2}\), tu mają być plusy (pomyliłem się).

Jak wygląda \(\displaystyle{ W(x+y)}\) zgodnie z naszym podstawieniem. Jak wygląda \(\displaystyle{ W(y)}\)?

[pasjonatka]

No to tak:
\(\displaystyle{ W(y)=V(y)+y^{2}+2}\)
\(\displaystyle{ W(x+y)=V(x+y)+(x+y)^{2}+2}\)
I teraz:
\(\displaystyle{ V(x+y)+(x+y)^{2}+2=V(x)+x^{2}+2+V(y)+y^{2}+2+2xy-2}\)
\(\displaystyle{ V(x+y)+(x+y)^{2}+2=V(x)+V(y)+(x+y)^{2}+2}\)
\(\displaystyle{ V(x+y)=V(x)+V(y)}\)
Tak?

[AndrzejK]

Dokładnie. Wiemy (co można wykazać), że to równanie spełnia tylko funkcja liniowa. Jaki z tego wniosek?

[pasjonatka]

Wniosek z tego, że wielomiany \(\displaystyle{ V(x+y)}\); \(\displaystyle{ V(x)}\) i \(\displaystyle{ V(y)}\) muszą być stopnia pierwszego. Tak?

[AndrzejK]

wszystkie trzy wyrażenia, które napisałeś to jeden i ten sam wielomian. Tylko opisuje on wartości w trzech różnych punktach: \(\displaystyle{ x+y, x, y}\). Zatem tak, wielomian \(\displaystyle{ V}\) jest stopnia pierwszego. Czyli po prostu \(\displaystyle{ V(x)=ax}\), dla \(\displaystyle{ a \in R}\). Stąd wracając z podstawieniem dostajemy, że \(\displaystyle{ W(x)=...?}\)

[pasjonatka]

\(\displaystyle{ W(x)=x^{2}+ax+2}\)
\(\displaystyle{ W(y)=y^{2}+ay+2}\)
\(\displaystyle{ W(x+y)=(x+y)^{2}+a(x+y)+2}\)

Czyli to co ja na początku napisałam tylko musiałam do tego dojść a nie to wziąć z głowy. Tak?

[AndrzejK]

Po prostu \(\displaystyle{ W(x)=x^2+ax+2}\). To nie są trzy różne wielomiany, tylko jeden wielomian o wartościach w trzech różnych punktach. Zatem odpowiedź brzmi:
Wszystkie wielomiany spełniające te warunki są postaci \(\displaystyle{ W(x)=x^2+ax+2}\) dla \(\displaystyle{ a \in \mathbb{R}}\)

Na koniec warto sprawdzić, czy spełniają one pierwszy warunek (chociaż to widać).

Mogłaś wziąć ten wielomian z głowy i pokazać, że pasuje (czyli podstawić za \(\displaystyle{ W(x), W(y), W(x+y)}\) odpowiednie wyrażenia i udowodnić że zachodzi równość), ale przecież to nie musi być jedyne rozwiązanie, może być ich więcej. Dlatego trzeba wykazać, że innych rozwiązań nie ma (co w rozwiązaniu zrobiliśmy wykorzystując fakt, że jeśli \(\displaystyle{ V(x+y)=V(x)+V(y)}\) to \(\displaystyle{ V(x)=ax}\) i żadna inna funkcja tego nie spełnia; jest to powszechnie znany fakt, ale możesz łatwo znaleźć jego dowód w internecie).

[pasjonatka]

Aaaa rozumiem A ja od początku byłam przekonana że muszę znaleźć \(\displaystyle{ W(x)}\), \(\displaystyle{ W(y)}\) i \(\displaystyle{ W(x+y)}\). Nie widziałam tego, że one wszystkie są jednym wielomianem o wartościach w trzech różnych punktach.