Jak dzielić przez siebie wielomiany tego samego stopnia?

[Devilisha]

Witam, pytanie może dla niektórych nieco trywialne, ale zaskoczył mnie przykład wielomianów które należy przez siebie podzielić a mają one taki sam stopień, jak wykonać takie dzielenie? Bardzo proszę o wyjaśnienie na poniższym przykładzie:

\(\displaystyle{ 1) (5x):(2+3x)}\)
\(\displaystyle{ 2) (x+1):(4x+6)}\)
\(\displaystyle{ 3) ( x^{2}+3x+3):(2 x^{2}+x+3)}\)

[SlotaWoj]

Jedynie gdy współczynnik przy najwyższej potędze wielomianu w liczniku jest większy od odpowiedniego współczynnika w mianowniku dzielenie coś da. Wynik będzie postaci: stała +/- funkcja wymierna właściwa (patrz na swój pierwszy przykład).

1. Ponieważ \(\displaystyle{ 5>3}\) można dzieląc doprowadzić do postaci:
   
   • \(\displaystyle{ 1+\frac{2x-2}{3x+2}\quad\mbox{bo}\quad5\!\!\mod3=2}\)
2. Dzielenie nic nie da, bo \(\displaystyle{ 1<4}\). Można tylko wyłączyć \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) przed ułamek:
   
   • \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot\frac{x+1}{2x+3}}\)
3. \(\displaystyle{ 1<2}\). Nic nie można zrobić. Ani licznika, ani mianownika nie można też zapisać w postaci iloczynowej. To jest najprostsza postać:
   
   • \(\displaystyle{ \frac{x^2+3x+3}{2x^2+x+3}}\)

[piasek101]

2) 3) Nie zgadzam się - wielomiany takich samych stopni możemy dzielić zawsze (gdy tego potrzebujemy); wynikiem dzielenia będzie liczba.

\(\displaystyle{ (x+1):(4x+6)=0,25 reszty (-0,5)}\)

[miodzio1988]

Jedynie gdy współczynnik przy najwyższej potędze wielomianu w liczniku jest większy od odpowiedniego współczynnika w mianowniku dzielenie coś da.

To nie jest prawda, można przecież wykonać dzielenie, jaki jest problem?

[SlotaWoj]

@Piasek101

Czyżbyś uważał, że:

• \(\displaystyle{ \frac{x+1}{4x+6}=\mbox{const}}\) ?

@Miodzio1988

Ja nie pisałem, że nie można.

[miodzio1988]

CO to znaczy, że dzielenie nic nie da zatem?

[SlotaWoj]

Nic nie da, bo w:

• \(\displaystyle{ \frac{F(x)}{G(x)}=Q(x)+\frac{R(x)}{G(x)}}\)

będzie:

• \(\displaystyle{ Q(x)\equiv0 \\
  R(x)=F(x) \\}\)

Można tylko (ewentualnie) wyłączyć jako czynnik jakąś stałą z \(\displaystyle{ \frac{R(x)}{G(x)}}\).

[a4karo]

Oczywiście, że nie
\(\displaystyle{ \frac{x+1}{2x+3}=\frac{1}{2} -\frac{1/2}{2x+3}}\)

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ (x+1)/(4x+6)= \frac{1}{4}- \frac{1}{4(2x+3)}}\)

Nic nie dało?

[SlotaWoj]

No tak. Utożsamiłem dzielenie wielomianów z rozkładem Archimedesa.

[piasek101]

@Piasek101

Czyżbyś uważał, że:

• \(\displaystyle{ \frac{x+1}{4x+6}=\mbox{const}}\) ?

Już (prawie, bo nie ma odpowiedzi na zadane pytanie) wyjaśnione, ale nie zaglądałem tu wczoraj więc dopiszę.

Podałem wynik tego dzielenia, wystarczyło sprawdzić, że \(\displaystyle{ x+1=0,25(4x+6)-0,5}\) (jest ok).