liczba dwa jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu

slonko · Post autor: **slonko** » 16 sty 2016, o 15:16

Zad. Dla jakich wartości \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) liczba 2 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^3-5x^2+ax+b}\)?

Jak zacząć rozwiązywać:
1. \(\displaystyle{ W(x):(x-2)^2=P(x)}\)
Podzielić wielomian \(\displaystyle{ W(x):(x-2)^2}\) i reszte przyrównać do zera.
czy
2. sposobem jeśli dobrze myśle
\(\displaystyle{ W(x)=P(x)(x-2)(x-2)}\)
\(\displaystyle{ W(x) : (x-2)=P(x) (x-2) = M(x)}\) ten wielomian co wyjdzie z podzielenia \(\displaystyle{ W(x):(x-2)}\)
M(2)=0
i mam pierwsze równanie z dwiema niewiadomymi skąd wziąsc drugie?

Milczek · Post autor: **Milczek** » 16 sty 2016, o 15:21

Sposób nr.1 jest jak najbardziej odpowiedni.

slonko · Post autor: **slonko** » 16 sty 2016, o 15:41

Przy podzieleniu \(\displaystyle{ W(x):(x^2-4x+4)=x+11 +R(x)}\)
R(x)=(a-4+44)x+b-44
stąd a=-40 b=44
te odpowiedzi są błędne.
gdzie robie błąd?

bosa_Nike · Post autor: **bosa_Nike** » 16 sty 2016, o 15:43

Jeżeli znasz wzory Viete'a, to jesteś w stanie rozwiązać to zadanie w pamięci.

slonko · Post autor: **slonko** » 16 sty 2016, o 15:47

wzory vieta dla wielomianów teraz sprawdzałam wikipedii.
musze rozwiązać to zadanie bez tych wzorów

bosa_Nike · Post autor: **bosa_Nike** » 16 sty 2016, o 15:56

Nie korzystając z gotowych wzorów można to obejść: \(\displaystyle{ x^3-5x^2+ax+b=(x-2)^2(vx-t)}\)
Wymnóż prawą stronę i porównaj współczynniki.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 16 sty 2016, o 16:02

Można prościej: jeżeli \(\displaystyle{ 2}\) jest podwójnym pierwiastkiem, to \(\displaystyle{ W(2)=W'(2)=0}\)

Milczek · Post autor: **Milczek** » 16 sty 2016, o 16:11

bosa_Nike pisze:Jeżeli znasz wzory Viete'a, to jesteś w stanie rozwiązać to zadanie w pamięci.

Wy to macie mózgi jeśli liczycie sobie ze wzorów Vieta takie rzeczy w pamięci.

Znam owe wzory ale nie wiem co masz na myśli mówiąc że tak upraszczają to zadanie.
To że : gdy \(\displaystyle{ x_{1}=x_{2}=2}\) to, \(\displaystyle{ x_{3}=1}\)
więc \(\displaystyle{ b=-4}\)
o \(\displaystyle{ a=8}\)
?

slonko · Post autor: **slonko** » 16 sty 2016, o 16:13

odpowidzi wyszły dobre a=8 b=-4
tylko czy tą metodę stosować też do zadania tego samego typu gdzie 2 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)= ax^4+bx^3-2(4a+b)x^2+(a-3b)x+8}\)

Milczek · Post autor: **Milczek** » 16 sty 2016, o 16:16

No nie , tutaj Vieta się nie przydadzą zbytnio.

slonko · Post autor: **slonko** » 16 sty 2016, o 16:18

Rozwiązywałam to sbosobem bosa_Nike

a4karo · Post autor: **a4karo** » 16 sty 2016, o 16:21

Milczek pisze:No nie , tutaj Vieta się nie przydadzą zbytnio.

Pomyśl - masz dwukrotny pierwiastek \(\displaystyle{ 2}\) i sumę trzech pierwiastków równą \(\displaystyle{ 5}\). Potrzebujesz czegoś więcej?

Milczek · Post autor: **Milczek** » 16 sty 2016, o 16:23

a4karo pisze:
Milczek pisze:No nie , tutaj Vieta się nie przydadzą zbytnio.

Pomyśl - masz dwukrotny pierwiastek \(\displaystyle{ 2}\) i sumę trzech pierwiastków równą \(\displaystyle{ 5}\). Potrzebujesz czegoś więcej?

I tak wyznaczyłem rozwiązania w poprzednim przykładzie. Natomiast odpowiedź odnosiła się do kolejnego :

\(\displaystyle{ W(x)= ax^4+bx^3-2(4a+b)x^2+(a-3b)x+8}\). Którego już nie rozwiążę wzorami Vieta.

bosa_Nike · Post autor: **bosa_Nike** » 16 sty 2016, o 17:25

To jak najbardziej wykonalne i wcale nietrudne. Być może tylko już nie w pamięci.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 16 sty 2016, o 17:29

To fakt. Tu najprostszą metoda wydaje się być pochodna.