Cześć wszystkim!
Słuchajcie, mam problem.
Mam takie zadanie:
Rozwiąż nierówność \(\displaystyle{ (4-x^2)(x^4-7x^3+10x^2) \le 0}\)
Miejsca zerowe wyliczyłem bez większego problemu. Z pierwszego nawiasu jest do x=2 i x=-2 a drugi nawias rozbiłem na (x^2)(x^2-7x+10)=0 i tutaj wyszło mi z pierwszego nawiasu x=0 oraz x=5 oraz x=2
I teraz moje pytanie. Skąd mam wiedzieć kiedy funkcja odbija się od osi a kiedy ją przebija? Nie myślcie, że idę na łatwiznę i od razu do Was piszę. Przekopałem internet i wiem o krotnościach pierwiastków, ale wszędzie podają przykłady typu x((x-1)^2)((x-8)^3)=0. Kiedy są pojedyncze nawiasy sprawa jest prosta. Ale jak mam określić krotności przy tego typu zadaniach? Spojrzałem w odpowiedzi, i wiem, że przebija tylko przy -2 i 5. Ale dlaczego przebija 5 skoro x=2 jest z tego samego nawiasu?
Czy może mi to ktoś wyjaśnić? Będę wdzięczny za każdą pomoc.
Pozdrawiam!
Krotność pierwiastków w funkcji wielomianowej 6 stopnia
-
jik2
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 20 gru 2015, o 13:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Pomógł: 1 raz
Krotność pierwiastków w funkcji wielomianowej 6 stopnia
Jestem nowy na tym forum, ale postaram Ci się pomóc. Otóż od krotności pierwiastka zależy to czy wykres wielomianu się "odbije" lub "przejdzie" na ujemny znak osi y. Gdy krotność jest parzysta, to oznacza że się "odbije" czyli zmieni swoją monotoniczność w miejscu zerowym. Jeśli nieparzysta to "przejdzie pod oś x". przykładowo \(\displaystyle{ x^{2}}\) wtedy się odbije, lecz przy \(\displaystyle{ x^{5}}\) przejdzie przez oś x. gdyż \(\displaystyle{ 5}\) jest nieparzysta. Podobnie jest z nawiasami \(\displaystyle{ (x-3)^{2}}\) wtedy w miejscu \(\displaystyle{ x=3}\) odbije się w góre.
\(\displaystyle{ (4-x^2)(x^4-7x^3+10x^2) \le 0}\)
\(\displaystyle{ (2-x)(x+2)x^2(x^2-7x+10) \le 0}\)
\(\displaystyle{ x^2(2-x)(x+2)(x-2)(x-5) \le 0}\)
\(\displaystyle{ -x^2(2-x)^2(x+2)(x-5) \le 0}\)
zatem przy \(\displaystyle{ x=2}\) i \(\displaystyle{ x=0}\) krotność pierwiastka wynosi \(\displaystyle{ 2}\), czyli się "odbije" a przy \(\displaystyle{ x=5}\) i \(\displaystyle{ x=-2}\) krotność pierwiastka to \(\displaystyle{ 1}\) zatem liczba nieparzysta i przebije się przez oś x.
\(\displaystyle{ (4-x^2)(x^4-7x^3+10x^2) \le 0}\)
\(\displaystyle{ (2-x)(x+2)x^2(x^2-7x+10) \le 0}\)
\(\displaystyle{ x^2(2-x)(x+2)(x-2)(x-5) \le 0}\)
\(\displaystyle{ -x^2(2-x)^2(x+2)(x-5) \le 0}\)
zatem przy \(\displaystyle{ x=2}\) i \(\displaystyle{ x=0}\) krotność pierwiastka wynosi \(\displaystyle{ 2}\), czyli się "odbije" a przy \(\displaystyle{ x=5}\) i \(\displaystyle{ x=-2}\) krotność pierwiastka to \(\displaystyle{ 1}\) zatem liczba nieparzysta i przebije się przez oś x.
Krotność pierwiastków w funkcji wielomianowej 6 stopnia
Dzięki wielkie!!! Pomogłeś!
Teraz już wiem o co chodzi!
Teraz już wiem o co chodzi!